Приклад 2.

Початкові дані: Х₁₀ = 20 ºС; Х₂₀ = 35 ºС; Х₃₀ = 24 м³;

DХ₁/Х₁₀ = 25%, DХ₂/Х₂₀ = 20%; DХ₃/Х₃₀ = 50%.

Досліди дублювалися в одній (нульовий) точці плану N₀ = 3, тобто в центрі плану.

Результати окремих спостережень в центрі плану:

Y₀₁ = 71,2; Y₀₂ =74,3; Y₀₃ =78,1 (Вт).

Результати експериментів

u	х0	х1	х2	х3	хіхj		Yu (Вт)
1	+1	+1	+1	+1			50
2	+1	-1	+1	+1			40
3	+1	+1	-1	+1			80
4	+1	-1	-1	+1			60
5	+1	+1	+1	-1			7
6	+1	-1	+1	-1			10
7	+1	+1	-1	-1			50
8	+1	-1	-1	-1			93

Виконання завдання 1.

1) Розрахувати мінімальне та максимальне значення кожного фактора (параметра) в реальних (фактичних) одиницях вимірювання за умови, що значення Х_і0 задано в реальних одиницях; позначити їх Х_{і мін} та Х_{і мах}.

Визначаємо значення інтервалу варіювання кожного фактора:

DХ₁ = Х₁₀ ·DХ₁/Х₁₀ = 20·25/100 = 20 ·0,25 = 5 (ºС);

DХ₂ =35 ·0,2 = 7 (ºС);

DХ₃ = 24 ·0,5 = 12 (м³).

Розраховуємо значення Х_{і мін} та Х_{і мах}:

Х_{1 мін} = Х₁₀ – DХ₁ = 20 – 5 = 15 (ºС); Х_{1 мах} = Х₁₀ +DХ₁ = 20 + 5 = 25 (ºС).

Х_{2 мін} = Х₂₀ – DХ₂ = 35 – 7 = 28 (ºС); Х_{2 мах} = Х₂₀ +DХ₂ = 35 + 7 = 42 (ºС).

Х_{3 мін} = Х₃₀ – DХ₃ = 24 – 12 = 12 (м³); Х_{3 мах} = Х₃₀ +DХ₃ = 24 + 12 = 36 (м³).

2) Скласти робочу матрицю експерименту. Позначити її «Таблиця 1»

Таблиця 1.

Робоча матриця експерименту

№ досліду	Х1 (ºС )	Х2 (ºС)	Х3 (м3)	Y (Вт)
1	45	264	16	50
2	15	264	16	40
3	45	176	16	80
4	15	176	16	60
5	45	264	4	7
6	15	264	4	10
7	45	176	4	50
8	15	176	4	93

3) Скласти розширену матрицю планування типу 2³ та результатів розрахунків з врахуванням умов проведення паралельних дослідів. Позначити «Таблиця 2».

В даному випадку поле результатів експерименту складається з одного стовпця.

Таблиця 2.

Матриця планування і результати розрахунків

№ д-у	Планування								Рез.експ.	Розрахунки
	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У =		( - )2
1	1	1	1	1	1	1	1	1	50
2	1	-1	1	1	-1	-1	1	-1	40
3	1	1	-1	1	-1	1	-1	-1	80
4	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	60
5	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1	7
6	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1	10
7	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	50
8	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1	93

4) Розрахувати середнє значення в паралельних дослідах.

Для експерименту з паралельними дослідами в центрі плану цей пункт не виконується.

5) Розрахувати значення порядкової дисперсії відтворення .

Для експерименту з паралельними дослідами в центрі плану цей пункт не виконується.

6) Виконати перевірку однорідності дисперсій за критерієм Кохрена.

Для експерименту з паралельними дослідами в центрі плану цей пункт не виконується.

7) Розрахувати значення коефіцієнтів рівняння регресії.

Коефіцієнти при факторах розраховуються за формулою (2). Коефіцієнти, що враховують сумісну дію факторів та використовуються для створення нелінійного рівняння регресії, - за формулою (3).

Виконуємо розрахунок коефіцієнта b₀ при умовному факторі х₀ (це вільний коефіцієнт рівняння регресії)

Розраховуємо коефіцієнти при факторах х_і (перемножуємо по рядкам и елементи відповідного стовпця х_і та стовпця )

[1·50 + (-1)·40 + 1·80 + (-1)·60 + 1·7 + (-1)·10 + 1·50 + (-1)·93] = -2.

[1·50 + 1·40 + (-1)·80 + (-1)·60 + 1·7 + 1·10 + (-1)·50 + (-1)·93] = -22.

[1·50 + 1·40 + 1·80 + 1·60 + (-1)·7 + (-1)·10 + (-1)·50 + (-1)·93] = 8,75.

Розраховуємо коефіцієнти при сумісної дії факторів

[1·50 + (-1)·40 + (-1)·80 + 1·60 + 1·7 + (-1)·10 + (-1)·50 + 1·93] = 3,75.

[1·50 + (-1)·40 + 1·80 + (-1)·60 + (-1)·7 + 1·10 + (-1)·50 + 1·93] = 9,5.

[1·50 + 1·40 + (-1)·80 + (-1)·60 + (-1)·7 + (-1)·10 + 1·50 + 1·93] = 9,5.

[1·50 + (-1)·40 + (-1)·80 + 1·60 + (-1)·7 + 1·10 + 1·50 + (-1)·93] = -6,25.

8) Записати отримане рівняння регресії в чисельному вигляді.

Використовуємо отримані значення коефіцієнтів для запису рівняння регресії у вигляді (4) та отримуємо наступний вираз:

48,75 – 2x₁ – 22x₂ + 8,75x₃ + 3,75x₁x₂ + 9,5x₁x₃ + 9,5x₂x₃ – 6,25x₁x₂x₃ .

Виконання завдання 2.

1) Розрахувати дисперсію відтворення (помилку усього експерименту).

Дисперсія відтворення для всього експерименту для випадку проведення паралельних дослідів в центрі плану розраховується за формулою (1).

Для її визначення розраховуємо середнє значення в паралельних дослідах в центрі плану

;

тоді отримуємо значення дисперсії відтворення

.

2) Виконати оцінювання значущості коефіцієнтів рівняння регресії за критерієм Стьюдента. Зробити висновок.

Значущість коефіцієнтів рівняння регресії перевіряється за критерієм Стьюдента (5), розрахункове значення критерію Стьюдента - за формулою (6), середньоквадратичне відхилення коефіцієнтів регресії – за формулою (7).

Розраховуємо значення середньоквадратичного відхилення коефіцієнтів:

.

Для коефіцієнта b₀ визначаємо розрахункове значення критерію Стьюдента

;

так само для інших коефіцієнтів:

; ; ;

; ; ;

.

Знаходимо табличне значення критерію Стьюдента, якщо

f₀ = N₀ – 1 = 3 – 1 = 2;

t_T (0,05; 2) = 4,3.

Виконуємо оцінювання значущості по кожному коефіцієнту та робимо висновки:

для b₀ 52,139 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁ 2,139 < 4,3 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₂ 23,529 < 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₃ 9,358 < 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁₂ 4,011 < 4,3 – умова не виконується, коефіцієнт незначущий;

для b₁₃ 10,16 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₂₃ 10,16 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий;

для b₁₂₃ 6,685 > 4,3 – умова виконується, коефіцієнт значущий.

3) Записати остаточне рівняння регресії.

Записуємо в чисельному вигляді рівняння регресії зі значущими коефіцієнтами

48,75 – 22x₂ + 8,75x₃ + 9,5x₁x₃ + 9,5x₂x₃ – 6,25x₁x₂x₃ .

4) Визначити розрахункове значення в кожній точці факторного простору за отриманим рівнянням регресії.

Розраховуємо значення для кожного рядка матриці планування з врахуванням значень факторів (+1 або -1) за отриманим рівнянням регресії.

Для першого досліду (перший рядок и = 1):

48,75 – 22· (+1) + 8,75· (+1) + 9,5· (+1) + 9,5· (+1) – 6,25· (+1) = 48,25 .

для и = 2: 48,75 –22·(+1) +8,75·(+1) +9,5· (-1) +9,5· (+1) –6,25· (-1) = 41,75;

для и = 3: 48,75 –22·(-1) +8,75·(+1) +9,5· (+1) +9,5· (-1) –6,25· (-1) = 85,75;

для и = 4: 48,75 –22·(-1) +8,75·(+1) +9,5· (-1) +9,5· (-1) –6,25· (+1) = 54,25;

для и = 5: 48,75 –22· (+1) +8,75· (-1) +9,5· (-1) +9,5· (-1) –6,25· (-1) = 5,25;

для и = 6: 48,75 –22·(+1) +8,75·(-1) +9,5· (+1) +9,5· (-1) –6,25· (+1) = 11,75;

для и = 7: 48,75 –22·(-1) +8,75· (-1) +9,5· (-1) +9,5· (+1) –6,25· (+1) = 55,75;

для и =8: 48,75 –22·(-1) +8,75· (-1) +9,5· (+1) +9,5· (+1) –6,25· (-1) = 87,25.

Отримані значення записуємо в стовпець таблиці 2.

Таблиця 2.1.

Матриця планування і результати розрахунків

№ д-у	Планування								Рез.експ.	Розрахунки
	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У =		( - )2
1	1	1	1	1	1	1	1	1	50	48,25
2	1	-1	1	1	-1	-1	1	-1	40	41,75
3	1	1	-1	1	-1	1	-1	-1	80	85,75
4	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	60	54,25
5	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1	7	5,25
6	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1	10	11,75
7	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	50	55,75
8	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1	93	87,25

5) Розрахувати квадратичне відхилення розрахункового значення від середнього .

Використовуємо формулу та значення відповідних стовпців таблиці 2.1. Для першого рядка отримуємо (50 – 48,25)² = 3,0625; записуємо результат в стовпець таблиці 2. Результати розрахунків для інших рядків наведені в таблиці 2.2.

Таблиця 2.2.

Матриця планування і результати розрахунків

№ д-у	Планування								Рез.експ.	Розрахунки
	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	У =		( - )2
1	1	1	1	1	1	1	1	1	50	48,25	3,0625
2	1	-1	1	1	-1	-1	1	-1	40	41,75	3,0625
3	1	1	-1	1	-1	1	-1	-1	80	85,75	33,0625
4	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1	60	54,25	33,0625
5	1	1	1	-1	1	-1	-1	-1	7	5,25	3,0625
6	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1	10	11,75	3,0625
7	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	50	55,75	33,0625
8	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1	93	87,25	33,0625

6) Виконати перевірку адекватності отриманого рівняння регресії за критерієм Фішера. Зробити висновок.

Адекватність отриманого рівняння регресії перевіряється за критерієм Фішера (8). Розрахункове значення критерію Фішера визначається за формулою (9).

Визначаємо число членів рівняння регресії, що залишились після оцінювання значущості коефіцієнтів, l = 6. Користуючись даними таблиці 2.2, розраховуємо значення дисперсії адекватності за формулою (10)

+33,0625+33,0625)=72,25.

Розраховуємо значення критерію Фішера

.

Знаходимо табличне значення критерію Фішера, якщо f_аd = N – l = 8-6 = 2; f₀ = 2. Таблиця значень критерію Фішера для рівня значущості q = 0,05 наведена в додатку 3:

F_T (0,05; 2; 2) = 19.

Виконуємо перевірку та робимо висновок:

10,321 < 19 – умова виконується, рівняння регресії адекватне.

Виконання завдання 3.

1) Виконати перетворення факторів х_і до реальних (фактичних) величин Х_і за відповідними чисельними формулами переходу кожного фактора.

Кодування факторів здійснюється за формулою (11). Використовуємо значення Х₁₀ та DХ₁, які отримані в п.1 завдання 1. Тоді

; ; .

2) Підставити отримані вирази в рівняння регресії.

.

3) Виконати необхідні спрощення та отримати математичну залежність цільової функції У від параметрів процесу Х₁, Х₂, Х₃.

У = 48,75 – 3,14·(X₂ - 35) + 0,73·(X₃ - 24) + 0,16·(X₁ - 20)·(X₃ - 24) +

+ 0,11·(X₂ - 35)·(X₃ - 24) – 0,015·(X₁ - 20)·(X₂ - 35)·(X₃ - 24) =

= 48,75 – 3,14·X₂ + 109,9 + 0,73·X₃ – 17,52 + 0,16·X₁·X₃ – 3,2·X₃ – 3,84·X₁ + 76,8 + + 0,11·X₂·X₃ – 3,85·X₃ – 2,64·X₂ + 92,4 – 0,015·X₁·X₂·X₃ + 0,3·X₂·X₃ + 0,525·X₁·X₃ – - 10,5·X₃ + 0,36·X₁·X₂ – 7,2·X₂ – 12,6·X₁ + 252;

або остаточно

У = 562,33 – 16,44·X₁ – 12,98·X₂ – 16,82·X₃ + 0,36·X₁·X₂ + 0,685·X₁·X₃ +

+ 0,41·X₂·X₃ – 0,015·X₁·X₂·X₃.

Висновок. В результаті проведеного аналізу експериментальних даних отримана математична залежність, що адекватно описує досліджуваний процес. За допомогою цієї залежності можна прогнозувати значення змінної У за будь-якими значеннями факторів.

Наприклад, необхідно визначити значення У, якщо Х₁ = 10 ºС; Х₂ = 50 ºС; Х₃ = 40 м³.

У = 562,33 – 16,44 · 10 – 12,98· 50 – 16,82· 40 + 0,36· 10· 50 + 0,685· 10· 40 +

+ 0,41· 50· 40 – 0,015· 10· 50· 40 = 50,53 (Вт).

В результаті виконаного розрахунку встановлено, що за умов Х₁ = 10 ºС; Х₂ = 50 ºС; Х₃ = 40 м³ значення цільової функції буде дорівнюватиме 50,53 Вт.