Задача 4.

Определить условия, при которых связь между А и В будет положительной, отрицательной или переменные не будут связаны.

Первое соотношение можно представить в виде равенства:

f₁₁=f₀₁f₁₀/f₀₀

Если f₁₁ f₀₁f₁₀/f₀₀ , то переменные А и В связаны поло­жительно.

Если f₁₁ f₀₁f₁₀/f₀₀ , то переменные А и В связаны отри­цательно.

Если f₁₁=f₀₁f₁₀/f₀₀ , то переменные А и В не связаны между собой.

f₁₁ = 8 > f₀₁f₁₀/f₀₀ = 6,66666.

Вывод: переменные А и В связаны между собой положи­тельно.

Задача 5.

Рассчитать коэффициент корреляции между А и В при двух и более градациях переменных А и В.

Коэффициент корреляции между качественными пере­менными А и В рассчитывают по критерию Юла:

Q=

Достоверность критерия Юла проверяют по критерию Стьюдента.

Проверим нулевую гипотезу Н₀: "Q= 0" или "между пе­ременными А и В нет связи". Если фактический критерий Стьюдента

t_ф=

больше табличного t_T ( = 0,05; m = n , 1), то нулевая гипо­теза отвергается.

m — число степеней свободы;

п — количество всех объектов;

m_Q — ошибка Q.

m_Q=

Произведем расчеты для нашего примера:

Q=

m_Q= =

Так как фактическое значение критерия Стьюдента

t_ф= =

меньше табличного ( = 0,05, m = n - 1= 18 - 1= 17) = 2,11, то нулевая гипотеза Н₀: "Q = 0" принимается, и ут­верждается, что обнаруженная положительная связь между А и В является статистически недостоверной.

Задача 6.

Проверить независимость А и В на уровне значимости а=0,05.

Если градации переменных А и В не упорядочены, то мерой связи между А и В может быть критерий хи².

Проверим нулевую гипотезу Н₀: "Переменные А и В не взаимосвязаны между собой".

Если хи²_факт > хи²_табл, то нулевая гипотеза опровергается и ут­верждается, что между А и В существует взаимосвязь.

хи²_факт=

где — фактические частоты;

f_т — теоретические частоты, при которых связь между А и В отсутствует.

Используя соотношения частот, при которых связь меж­ду А и В отсутствует, можно получить расчетные значения f_T.

f_т11= = 6,666667;

f_т12= = 5,333333;

f_т21= = 3,333333;

f_т22= = 2,666667;

Фактические значения критерия можно посчитать по другой формуле:

хи_т — табличное значение (ищется по таблицам);

( = 0,05; т= (р - 1)(к - 1))= 2,71;

р — число градаций переменной А;

к — число градаций переменной В.

Так как = 1,8 меньше = 2,71, то нулевая гипотеза Н₀: "Переменные А и В не взаимосвязаны между собой" при­нимается.

Вывод. Связь между переменными А и В статистически не доказана.

Задача 7.

Разложить отклонение частоты от на компоненты, обусловленные влиянием А, В и взаимовлиянием АВ.

Представим фактические значения частот в виде ли­нейной модели

или

,

где коэффициенты a_i, bj и численно равны тому влия­нию, которое оказывают переменные А, В и их взаимовлия­ние АВ на величину отклонения фактической частоты от сред­ней частоты.

Коэффициенты рассчитываются по форму­лам дисперсионного анализа.

Определим коэффициенты для каждой часто­ты .

f₁₁ =8 = + a₁+b₁ + ab₁₁ =

= + ( ) + ( ) + ( ) = +4,5 + l,5 + 0,5 + l,5.

Прокомментируем полученные расчеты. Отклонение = 3,5 вызвано влиянием переменной А на величину 1,5, переменной В на величину 0,5, взаимовлиянием переменных АВ на величину 1,5.

Все переменные оказали положительное воздействие на величину Аналогично производим расчеты для всех ос­тавшихся частот.

f₁₂ =4 = + a₁+b₂ + ab₁₂ =

= + ( ) + ( ) + ( ) = +4,5 + l,5 - 0,5 - l,5.

f₂₁ =2 = + a₂+b₁ + ab₂₁ =

= + ( ) + ( ) + ( ) = +4,5 - l,5 + 0,5 - l,5.

f₂₂ =4 = + a₂+b₂ + ab₂₂ =

= + ( ) + ( ) + ( ) = +4,5 - l,5 - 0,5 + l,5.

Представим результат расчетов в виде табл. 2.

Таблица 2

Значения коэффициентов линейной модели

Частоты	Коэффициенты
	8 4 2 4	1,5 1,5 -1,5 -1,5	0,5 -0,5 0,5 -0,5	1,5 -1,5 -1,5 1,5

Линейная модель частот позволяет получить модели рас­четных значений частот, учитывающие раздельное и совме­стное влияние переменных.

Модель 1. не учитывает влияния переменных А и В, а также их взаимовлияние АВ.

Модель 2. — учитывает влияние только пере­менной А.

Модель 3. — учитывает влияние только пере­менной В.

Модель 4. — учитывает взаимовлияние пере­менных АВ.

Модель5. —учитывает раздельное, невза­имосвязанное влияние переменных А и В.

Модель6. имеет название насыщен­ной модели и точно воспроизводит фактические частоты.

Расчет теоретических частот, вызванных влиянием раз­личных переменных и их взаимовлиянием, представлен в табл. 3.

Таблица 3

Расчет теоретических частот, определенных по моделям

Час­тоты f ■■	Модель 1	Модель 2	Модель 3	Модель 4	Модель 5	Модель 6
	fpu = f	f •■ = ipu f + aj	f+ bj	f ■• = _ 'pu f + abij	ipy f+ aj +bj	Ipij f + a- + bj + ab,j
fpii fpl2 fp21 fp22	4,5 4,5 4,5 4,5	6 6 3 3	5 4 5 4	6 3 3 6	6,5 5,5 3,5 2,5	8 4 2 4

Примечание. Модель 5 предполагает, что переменные А и В не­взаимосвязаны между собой. Для этого случая мы уже получали тео­ретические частоты, которые отличаются от теоретических частот данной модели. Расхождения небольшие, но природа этой ошибки пока неизвестна.