2.3.2 Построение опорного плана методом Фогеля

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	9	5	7	10	18	78
2	36	29	6	38	40	94
3	41	20	11	25	19	29
4	30	28	13	39	50	86
Потребности	49	60	78	50	50

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.  ∑ a = 78 + 94 + 29 + 86 = 287  ∑ b = 49 + 60 + 78 + 50 + 50 = 287  Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	9	5	7	10	18	78
2	36	29	6	38	40	94
3	41	20	11	25	19	29
4	30	28	13	39	50	86
Потребности	49	60	78	50	50

1. Используя метод Фогеля, построим первый опорный план транспортной задачи.  Данный метод состоит в следующем:  1. на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;  2. находят максимальную разность и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке (столбце), которой соответствует данная разность.  1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=1 равен 5. Второй минимальный элемент строки N=1 равен 7. Разность равна 2.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 6. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 29. Разность равна 23.  Первый минимальный элемент строки N=3 равен 11. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 19. Разность равна 8.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 13. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 28. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=1 равен 9. Второй минимальный элемент столбца N=1 равен 30. Разность равна 21.  Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 5. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=3 равен 6. Второй минимальный элемент столбца N=3 равен 7. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 10. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 18. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Разность равна 1.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (2). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (2) и столбца (3).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	78	2
2	36	29	6	38	40	94	23
3	41	20	11	25	19	29	8
4	30	28	13	39	50	86	15
Потребности	49	60	78	50	50	0	0
Разности по столбцам	21	15	1	15	1	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=1 равен 5. Второй минимальный элемент строки N=1 равен 9. Разность равна 4.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 29. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 36. Разность равна 7.  Первый минимальный элемент строки N=3 равен 19. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 20. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 28. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 30. Разность равна 2.  Первый минимальный элемент столбца N=1 равен 9. Второй минимальный элемент столбца N=1 равен 30. Разность равна 21.  Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 5. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 10. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 18. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Разность равна 1.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (1). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (1) и столбца (1).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	78	4
2	36	29	6	38	40	16	7
3	41	20	11	25	19	29	1
4	30	28	13	39	50	86	2
Потребности	49	60	0	50	50	0	0
Разности по столбцам	21	15	-	15	1	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=1 равен 5. Второй минимальный элемент строки N=1 равен 10. Разность равна 5.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 29. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 38. Разность равна 9.  Первый минимальный элемент строки N=3 равен 19. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 20. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 28. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 39. Разность равна 11.  Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 5. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 10. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Разность равна 15.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 18. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Разность равна 1.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (4). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (1) и столбца (4).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	29	5
2	36	29	6	38	40	16	9
3	41	20	11	25	19	29	1
4	30	28	13	39	50	86	11
Потребности	0	60	0	50	50	0	0
Разности по столбцам	-	15	-	15	1	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 29. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 38. Разность равна 9.  Первый минимальный элемент строки N=3 равен 19. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 20. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 28. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 39. Разность равна 11.  Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 28. Разность равна 8.  Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 38. Разность равна 13.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 40. Разность равна 21.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (5). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (3) и столбца (5).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	0	-
2	36	29	6	38	40	16	9
3	41	20	11	25	19	29	1
4	30	28	13	39	50	86	11
Потребности	0	60	0	21	50	0	0
Разности по столбцам	-	8	-	13	21	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 29. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 38. Разность равна 9.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 28. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 39. Разность равна 11.  Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 28. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 29. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 38. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 39. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 40. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 50. Разность равна 10.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (4). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (4) и столбца (2).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	0	-
2	36	29	6	38	40	16	9
3	41	20	11	25	19	0	-
4	30	28	13	39	50	86	11
Потребности	0	60	0	21	21	0	0
Разности по столбцам	-	1	-	1	10	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 38. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 40. Разность равна 2.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 39. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 50. Разность равна 11.  Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 38. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 39. Разность равна 1.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 40. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 50. Разность равна 10.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (4). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (4) и столбца (4).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	0	-
2	36	29	6	38	40	16	2
3	41	20	11	25	19	0	-
4	30	28	13	39	50	26	11
Потребности	0	0	0	21	21	0	0
Разности по столбцам	-	-	-	1	10	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=2 равен 40. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 40. Разность равна 0.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 50. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 50. Разность равна 0.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 40. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 50. Разность равна 10.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (5). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (2) и столбца (5).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	0	-
2	36	29	6	38	40	16	0
3	41	20	11	25	19	0	-
4	30	28	13	39	50	5	0
Потребности	0	0	0	0	21	0	0
Разности по столбцам	-	-	-	-	10	0

1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.  Первый минимальный элемент строки N=4 равен 50. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 50. Разность равна 0.  Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 50. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 50. Разность равна 0.  Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (4). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (4) и столбца (5).

	1	2	3	4	5	Запасы	Разности по строкам
1	9	5	7	10	18	0	-
2	36	29	6	38	40	0	-
3	41	20	11	25	19	0	-
4	30	28	13	39	50	5	0
Потребности	0	0	0	0	5	0	0
Разности по столбцам	-	-	-	-	0	0

	1	2	3	4	5	Запасы
1	9[49]	5	7	10[29]	18	78
2	36	29	6[78]	38	40[16]	94
3	41	20	11	25	19[29]	29
4	30	28[60]	13	39[21]	50[5]	86
Потребности	49	60	78	50	50

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.