Закон сложения случайных погрешностей (случайные погрешности косвенных измерений)

Пусть величина, значение которой необходимо измерить, является функцией

,

непосредственно измеряемых переменных , для которых известны функции распределения (9).

Анализ ошибок возникающих при косвенных измерениях, когда интересующая нас величина зависит от одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, может быть проведен, по крайней мере, двумя способами.

Первый способ напрямую связан с методами изложенными выше. Необходимо вычислить значение в каждой измеренной точке, т.е. получить набор значений , для которых построить гистограмму, найти распределение и т.д.

Второй способ хотя и содержит неточности, но они тем меньше чем большее число измерений проведено. Он основан на представлении

(15)

и на разложении

, (16)

в котором оставлены только члены линейные по абсолютным ошибкам независимых переменных. Здесь - среднее значение величины , а - производная от по соответствующему аргументу. Из (16) нетрудно получить среднее значение переменной .

(17)

и среднюю ошибку

(18)

Если ошибки измерений малы по сравнению с измеряемой величиной, то оба способа дают почти тождественные результаты, хотя второй способ представляется менее трудоемким. Кроме того, если результаты измерений независимых переменных распределены по нормальному закону, что всегда предполагается, то для средних значений справедлива формула (14).

Примеры:

1.

то, вычисляя производные по соответствующим аргументам, получим:

Аналогично вычисляются дисперсии для большего числа сомножителей.

2.

Для функции по аналогии с предыдущем находим

Порядок выполнения работы

Цель работы: изучение принципа работы нониуса, использование штангенциркуля и микрометра для определения линейных размеров тел; определение доверительного интервала результатов измерений; использование полученных данных для расчета электрического сопротивления проводника цилиндрической формы.

Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, объекты измерения. Измерения штангенциркулем.

1. Определите точность нониуса.

2. Проверьте нулевой отсчет, выпишите его и учтите при нахождении окончательного результата измерений.

3. Определите длину проводника 10 раз, найдите среднее арифметическое , случайную погрешность с доверительной вероятностью 0,95 и запишите доверительный интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины.

Измерения микрометром.

1. Определите шаг микрометрического винта и число делений на барабане, найдите точность микрометра.

2. Определите нулевой отсчет. Для стабилизации давления на измеряемое тело вращения барабана производите только через трещотку до характерного треска.

3. Измерьте диаметр проводника в 10 разных местах.

4. Определите среднее арифметическое , случайную погрешность и доверительный интервал.

Результаты измерений занесите в таблицу следующего вида:

Таблица 2

№

, мм

, мм

, мм

, мм

, мм

мм

Результаты измерений с учетом правил округления и согласно формулам (5) и (10) запишите в виде:

; .

Электрическое сопротивление проводника вычисляется по формуле:

,

где - удельное сопротивление. Поскольку измеряемая величина, сопротивление , является Функцией величин диаметра и длины проводника , то среднее квадратичное отклонение среднего результата сопротивления определится по формуле:

.

Окончательный результат измерения запишется:

.

Относительное стандартное отклонение определится по формуле:

.

При вычислении погрешности не забывайте к случайной погрешности прибавить систематическую погрешность измерительного прибора, считая, что приборные погрешности измерительных средств равны 0,5 от цены наименьшего деления шкалы, в данном случае, нониуса. Совместный учет приборной и случайной погрешности базируется на законе сложения случайных величин. Если, например, при учете только случайной погрешности доверительный интервал определяется по формуле (12), то, с учетом систематической (приборной) погрешности,

.

Дайте заключение о том, связан ли наблюдаемый разброс с погрешностями измерений или с погрешностями изготовления измеряемого объекта.