МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

______________________________________________________________

Н.А. Ерзакова

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

к практическим занятиям

и контрольные задания

для студентов II курса

всех специальностей

дневного обучения

Москва — 2007

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ”

______________________________________________________________

Кафедра прикладной математики

Н.А. Ерзакова

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

к практическим занятиям

и контрольные задания

для студентов II курса

всех специальностей

дневного обучения

Москва — 2007

ББК 22.161.5

Е70

Рецензент: докт. техн. наук, проф. В.Л. Кузнецов

Ерзакова Н.А.

Е70       Теория функций комплексной переменной: Учебное пособие к практическим занятиям и контрольные задания.- М.: МГТУ ГА, 2007. – 60 с.

Учебное пособие содержит краткое изложение информации к теории функций комплексной переменной. Все факты проиллюстрированы примерами с подробным комментарием.

Данное пособие издается в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ОПД.Ф.06 "Теория функций комплексной переменной" по Учебному плану для студентов специальности 230401 "Прикладная математика". Работа включает в себя около 100 примеров с решениями, контрольные задания с ответами и 7 рисунков.

Учебное пособие может быть также полезным для аспирантов и преподавателей технических вузов, университетов, а также для научных работников и инженеров; может быть использовано при дистанционной форме обучения.

Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры Прикладной математики 08.02.07 (протокол № 3) и методического совета 28.02.07.

Редактор Т.М. Приорова

______________________________________________________________________

Подписано в печать

Печать офсетная Формат 60x84 1/16 4,61 уч.-изд. л.

3,75 усл. печ. л. Заказ №. Тираж 300 экз.

____________________________________________________________________

Московский государственный технический университет ГА

125993 Москва, Кронштадский бульвар, д. 20

Редакционно-издательский отдел

125493 Москва, ул. Пулковская, д. 6а

 Московский государственный

технический университет ГА, 2007

Содержание

Введение………………………………………………………………………….4

1. Основные понятия теории функций комплексной переменной……………....………………………………………………………….5

1.1. Комплексные числа. Основные элементарные функции комплексной переменой………………………………………………………5

1.2. Условия Коши – Римана. Аналитические функции……. ...11

1.3. Интеграл от функции комплексной переменной……………….13

2. Ряды…….……..………………………………………………..................16

2.1. Сумма числового ряда. Признаки абсолютной сходимости …..16

2.2. Условная сходимость…………….…..…….……………………..22

2.3. Функциональные ряды………...………....………………………24

3. Особые точки и разложения в ряды…….………………................30

3.1. Ряд Лорана……...…………………………………………………30

3.2. Классификация изолированных особых точек……………….35

4. Теория вычетов……………………………………...……………………39

4.1. Вычет…………………………………………………………..….39

4.2. Применение вычетов к вычислению интегралов…………........41

5. Элементы операционного исчисления………………………………….45

5.1. Понятие оригинала и изображения……………………………..45

5.2. Восстановление оригинала по изображению…………………..50

Приложения………………………………………………………………54

1. Линейные дифференциальные уравнения…………………..54

2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений......57

Тест…………………………………………………………………………59

Введение

Теория функций комплексной переменной – логически стройная математическая дисциплина, позволяющая производить математические операции в области комплексных чисел. Она имеет огромное значение не только для математики (алгебры, дифференциальных уравнений, аналитической теории чисел) и различных прикладных математических дисциплин (аэродинамики, гидродинамики, небесной механики, теории упругости), но и широко используется при решении многих инженерных задач.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение в электротехнике, радиотехнике, в теории электромагнитного поля.

Работа содержит известные формулы, основные понятия теории функций комплексной переменной. Перечисляются различные признаки сходимости числовых рядов. При этом в формулировках признаков Даламбера и радикального признака Коши акцентируется внимание на случаи невыполнения необходимого условия сходимости. В учебном пособии, в частности, подробно рассмотрен пример разложения в ряд Лорана рациональной дроби. Заметим, что из-за громоздкости изложение решения подобных примеров вызывает затруднение у преподавателей. В целях более глубокого изучения материала по теории функций комплексной переменной рекомендуется литература:

1. Высшая математика. Специальные разделы / Под ред. А.И. Кириллова.- М.: Изд-во физ.-мат.литературы, 2001.

2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

3. Свешников А.Г. , Тихонов А.Н.  Теория функции комплексной переменной.- М.:Физматлит, 2001.

4. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч 3.: Учебное пособие для втузов // Под. ред. А.В. Ефимова, А.С.Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат.литературы, 2003.

5. Терещенко А.М. Теория функций комплексной переменной. Учебное пособие. -М.: МИЭТ, 2006.