28.Проверка статистических решений по критерию Фишера.

F-тестом или критерием Фишера (F-критерием, φ*-критерием) — называют любой статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение).

Статистика теста так или иначе сводится к отношению выборочных дисперсий (сумм квадратов, деленных на "степени свободы"). Чтобы статистика имела распределение Фишера необходимо, чтобы числитель и знаменатель были независимыми случайными величинами и соответствующие суммы квадратов имели распределение Хи-квадрат. Для этого требуется, чтобы данные имели нормальное распределение. Кроме того, предполагается, что дисперсия случайных величин, квадраты которых суммируются, одинакова.

Тест проводится путем сравнения значения статистики с критическим значением соответствующего распределения Фишера при заданном уровне значимости. Известно, что если F~F(m,n),то 1/F~F(n,m). Кроме того, квантили распределения Фишера обладают свойствомF1-a=1/Fa. Поэтому обычно на практике в числителе участвует потенциально большая величина, в знаменателе - меньшая и сравнение осуществляется с "правой" квантилью распределения. Тем не менее тест может быть и двусторонним и односторонним. В первом случае при уровне значимости α используется квантиль Fα/2, а при одностороннем тесте Fα.

Более удобный способ проверки гипотез - с помощью p-значения p(F) - вероятностью того, что случайная величина с данным распределением Фишера превысит данное значение статистики. Если p(F) (для двустороннего теста 2p(F)) меньше уровня значимостиα, то нулевая гипотеза отвергается, в противном случае принимается.

F-тест на равенство дисперсий

Две выборки. Пусть имеются две выборки объемом m и n соответственно случайных величин X и Y, имеющих нормальное распределение. Необходимо проверить равенство их дисперсий. Статистика теста где   - выборочная дисперсия.

Если статистика больше критического, то дисперсии не одинаковы, в противном случае дисперсии выборок одинаковы

Несколько выборок.Пусть выборка объемом N случайной величины X разделена на k групп с количеством наблюдений   в i-ой группе.

Межгрупповая ("объясненная") дисперсия: 

Внутригрупповая ("необъясненная") дисперсия: 

Данный тест можно свести к тестированию значимости регрессии переменной X на фиктивные переменные-индикаторы групп. Если статистика превышает критическое значение, то гипотеза о равенстве дисперсий в выборках отвергается, в противном случае дисперсии можно считать одинаковыми.

[Править]Проверка ограничений на параметры регрессии

Статистика теста для проверки линейных ограничений на параметры классической нормальной линейной регрессии определяется по формуле:

Где q=kl-ks-количество ограничений, n-объем выборки, k-количество параметров модели, ESS-сумма квадратов остатков модели, R2-коэффициент детерминации, индексы S и L относятся соответственно к короткой и длинной модели (модели с ограничениями и модели без ограничений).