2. Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Правило, позволяющее по имеющимся статистическим данным (выборке) принять или отклонить выдвинутую гипотезу, называется статистическим критерием. Если формулируется только одна гипотеза и требуется проверить, согласуются ли статистические данные с этой гипотезой или же они ее опровергают, то критерии, используемые для этого, называются критериями согласия. Если гипотеза однозначно фиксирует закон распределения наблюдаемой случайной величины, то она называется простой, в противном случае — сложной. Пусть относительно наблюдаемой случайной величины сформулирована некоторая гипотеза ; - выборка объема , являющаяся реализацией случайного вектора , координаты которого независимы и распределены так же, как .

Общий метод построения критерия согласия для проверки гипотезы состоит в следующем. Вначале ищут статистику (случайную величину!), характеризующую отклонение эмпирического распределения от теоретического, закон распределения которой в случае справедливости можно определить (точно или приближенно). Далее задают некоторое положительное малое число , так что событие с вероятностью можно считать практически невозможным в данном эксперименте. Затем для заданного определяют в множестве возможных значений статистики подмножество , так чтобы .

Критерий согласия имеет следующий вид:

если значение статистики , соответствующее данной выборке и , то гипотеза отвергается;

если , то гипотеза принимается.

Статистика называется статистикой критерия; множество - критической областью для гипотезы , число - уровнем значимости критерия.

1.3.1. Проверка гипотезы о виде распределения

Пусть - выборка объема , представляющая собой результат независимых наблюдений над случайной величиной , относительно распределения которой выдвинута простая гипотеза ( - теоретическая функция распределения, соответствующая гипотезе ). Наиболее распространенным критерием проверки этой гипотезы является критерии Пирсона.

Чтобы воспользоваться критерием Пирсона, выборочные данные следует предварительно сгруппировать, представив их в виде интервального статистического ряда. Пусть -интервалы группировки; - частоты попадания выборочных значений в интервалы соответственно ( ).

Обозначим теоретическую (соответствующую ) вероятность попадания случайной величины в интервал

.

Статистикой критерия является величина:

,

которая характеризует отклонение эмпирической функции распределения от теоретической функции распределения (значение является приращением эмпирической функции на интервале , а - приращением теоретической функции на том же интервале). Поскольку относительные частоты сближаются с вероятностями при , то в случае справедливости гипотезы значение величины не должно существенно отличаться от нуля. Поэтому критическая область критерия задается в виде , где – значение величины , полученное для заданной выборки, а порог определяется по заданному уровню значимости так, чтобы . Нахождение основано на том факте (известном как теорема Пирсона), что случайная величина имеет при предельное распределение хи - квадрат с степенью свободы.

На практике предельное распределение можно использовать с хорошим приближением при и . При выполнении этих условий для заданного уровня значимости можно положить , где является (1— )-квантилью распределения .

Таким образом, критерий согласия Пирсона состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости находится по табл. П4 порог .

2. По заданной выборке объема определяется число интервалов группировки так, чтобы . Вычисляется значение статистики .

3. Если , то гипотезу отвергают.

4. Если , то гипотезу принимают.

Если случайная величина дискретная, - различные выборочные значения, а в случае справедливости , то всегда можно определить интервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что , где – частота выборочного значения .

На практике теоретическое распределение полностью бывает определено редко. Чаще известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде распределения, подлежащая проверке, имеет вид и является сложной параметрической гипотезой.

Критерий согласия Пирсона применим для проверки такой гипотезы со следующими изменениями:

а) вероятности , вычисляют, заменяя неизвестные параметры их оценками максимального правдоподобия : ;

б) число степеней свободы предельного распределения хи - квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным .