4.Измерение электрических и неэлектрических
ВЕЛИЧИН С ПОМОЩЬЮ МОСТОВЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СХЕМ
Мостовые схемы являются наиболее распространенными измерительными схемами для измерения электрических (сопротивление, индуктивность, емкость, частота) и любых не электрических величин, которые преобразуются в изменение сопротивления в измерительных преобразователях.
Измерительные мостовые схемы делятся по роду тока источника питания на схемы постоянного и переменного тока, а по схемному выполнению четырехполюсника на одинарные, двойные, Т-образные.
Мостовые схемы постоянного тока являются наиболее распространенными измерительными схемами для измерения сопротивлений, а также любых неэлектрических величин.
Схема
моста, образованного четырьмя резисторами,
сопротивление одного из которых Rx
необходимо определить, представлена
на
рис. 4.1
Рис.4.1.
Схема моста постоянного тока
Резисторы R1, R2, R3, R4 образуют плечи моста. Для измерения сопротивления Rx применяется метод равновесного моста, в котором используются нулевой метод измерения и измеряемое сопротивление определяется из условия равновесия моста.
Если представить ток Iн, протекающий через измерительный прибор РА, как функцию сопротивлений схемы и напряжения источника питания, получим уравнение
Из уравнения следует, что ток через прибор РА будет равен нулю в двух случаях: когда напряжение питания равно нулю, что соответствует обесточенному состоянию схемы и не представляет никакого практического интереса, и в случае, когда числитель дроби равен нулю, т.е. RxR4 – R2 R3 = 0.
Второй случай соответствует так называемому условию «равновесия» моста и используется при измерениях в мостах постоянного тока.
Для удовлетворения условия равновесия моста необходимо выбрать плечи его такими, чтобы произведения сопротивлений противоположных плеч были равны между собой
Rx R4 = R2 R3.
Из этого условия определяется Rx:
Rx
= R2
.
Процесс измерения неизвестного сопротивления Rx с помощью моста сводится к подбору сопротивлений плеч R2, R3 и R4. Включив неизвестное сопротивление в одно из плеч моста, изменяют сопротивления трех плеч до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, т.е. пока измерительный прибор не покажет отсутствие тока в диагонали моста.
При измерениях неэлектрических величин, преобразованных в величину сопротивления Rx, используется метод неравновесного моста, в котором измеряемая величина определяется по отклонению стрелки измерительного прибора, шкала которого проградуирована в единицах измеряемой величины, например, температуры и др.
Для измерения полных сопротивлений на переменном токе и их составляющих (емкость, индуктивность, взаимная индуктивность и т. п.) часто применяют мосты переменного тока. На рис. 4.2 представлена мостовая схема переменного тока для измерения индуктивности катушек, имеющих добротность менее 30.
Рис.
4.2.Схема моста для измерения индуктивности
катушек с добротностью
< 30
Измеряемую катушку с индуктивностью Lx и активным сопротивлением Rx включают в первое плечо. Переменный резистор R4 присоединяют параллельно к образцовой емкости С4 . Используя условия равновесия мостовой схемы переменного тока,
Z1 Z4 = Z2 Z3
Получим
где
-
угловая частота, f
- частота источника переменного тока.
После преобразования выражения
Rx R4 + jωLxR4 = R2 R3 + jωC4 R4 R2 R3
получаем два уравнения
,
из которых находим неизвестное сопротивление
и индуктивность
Lx = R2 R3 C4
Добротность катушки определим по формуле
Q = (ωLx)/Rx = ω C4 R4 .
Для измерения индуктивностей катушек с добротностью более 30 применяется схема последовательного соединения резистора R4 и образцовой емкости С4 ( рис.4.3)
Рис. 4.3. Схема моста для измерения индуктивности катушки c добротностью Q > 30
Условие равновесия мостовой схемы имеет вид
(Rx + jωLx) (R4 – j/ωC4) = R2 R3,
Откуда получаем два уравнения
Из совместного решения уравнений следует, что активное сопротивление
Rx = (ω2 C24 R2 R3 R4)/ [1 + (ω C4 R4)2]
Индуктивность
Lx = (R2 R3 C4)/ [1 + (ω C4 R4)2]
Добротность катушки
Q
= (ωLx)/Rx
=1/tg
=
1/(ω
C4
R4),
где tg - тангенс угла потерь.
Для измерения емкости используются мостовая схема переменного тока (рис. 4.4), в которой исследуемый конденсатор, представленный последовательной схемой Rx и Сх , включают в первое плечо.
Рис. 4.4. Схема моста для измерения емкости
Образцовую емкость С3 соединяют последовательно с резистором R3 . Условие равновесия моста при измерении емкости имеет вид:
[Rx + 1/(jωCx)] R4 = R2 [R3 + 1/(jωC3)]
После раскрытия скобок получаем выражение
- Rx R4 ω2CxC3 + jωC3R4 = - R2 R3ω2CxC3 + jωCxR2,
из которого получаем систему двух уравнений
Откуда измеряемая емкость
Сх = С3 (R4 / R2).
Сопротивление потерь в последовательной схеме замещения
Rx = R2 (R3 / R4)
Обычно вместо Rx измеряют тангенс угла потерь tg = ω Cx Rx в конденсаторе либо добротность Q = 1/ tg . Подставив в выражение tg значения Rx и Сх , получим
tg = ω Сх Rx = ω R3 C3.
Из выражений для Сх и для tg видно, что при уравновешивании моста резисторами R3 и R4, получается раздельный отсчет по измеряемым емкости Сх и тангенсу угла потерь tg . При этом резистор R4 градуируют в единицах емкости, а резистор R3 – в значениях tg .
При параллельной схеме замещения конденсатора тангенс угла потерь определяется по формуле
.
Мостовой метод измерения частоты основан на использовании частото зависимых мостов переменного тока, питаемых напряжением измеряемой частоты fx. Наиболее распространенной мостовой схемой для измерения частоты является емкостной мост (рис. 4.5).
Рис 4.5. Схема моста для измерения частоты.
Пренебрегая величиной дополнительного переменного сопротивления Rд , составляющего 1 – 2% от величины R1, получают условие равновесия для этой схемы
.
После преобразования получим выражение
j ωx C3 R1 R4 = (j ωx C3 R2 R3 + R2) (1 + j ωx Cx R4)
j ωx C3 R1 R4 = j ωx C3 R2 R3 - ωx2 C3 C4 R2R3 R4 + j ωx C4 R2 R4 + R2
из которого можно записать два равенства
R1/R2 = R3/R4 + C4 /C3
ωx2 C3 C4 R2 R3 R4 = R2.
Неизвестная частота, при которой мост будет уравновешен
ƒx
= 1/(2π
)
Если конденсаторы и резисторы схемы моста подобрать следующим образом :
С3 = С4 = С; R3 = R4 = R и R1 = 2R2,
то значение частоты определяется выражением
ƒx = 1 / (2 π R C)
Частоту уравновешивания можно изменять конденсаторами или резисторами. Обычно устанавливают одинаковые емкости и изменяют величину (R3, R4) переменных сдвоенных резисторов, шкалу которых можно отградуировать в единицах частоты. Расширение диапазона измерения осуществляют переключением конденсаторов С3, С4.
Задание № 4
а) Определить величину индуктивности Lx, активное сопротивление Rx и добротность катушки Qx, исходя из условия равновесия моста переменного тока, при следующих значениях остальных плеч моста:
Варианты задания
Таблица 4.1
№ п/п |
Значения параметров плеч и схем их соединения |
f, Гц |
|||
Z1=Zx |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
||
1 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 10 Ом |
L3 = 0,2 Гн R3 = 20 Ом соединение последовательное |
R4 = 40 Ом |
50 |
2 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 100 Ом |
L3 = 50 мГн R3 = 200 Ом соединение последовательное |
R4 = 250 Ом |
100 |
3 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 200 Ом |
L3 = 100 мГн R3 = 300 Ом соединение последовательное |
R4 = 50 Ом |
200 |
4 |
Lx, Rx соединение параллельное |
R2 = 50 Ом |
L3 = 100 мГн R3 = 300 Ом соединение параллельное |
R4 = 50 Ом |
300 |
5 |
Lx, Rx соеденне последовательное |
R2 = 200 Ом L2 = 10 мГн соединение последовательное |
R3 = 500 Ом |
R4 = 100 Ом |
250 |
6 |
Lx, Rx соеденне последовательное |
R2 = 100 Ом L2 = 5 мГн соединение последовательное |
R3 = 200 Ом |
R4 = 400 Ом |
200 |
7 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 150 Ом L2 = 1,5 мГн соединение последовательное |
R3 = 500 Ом |
R4 = 400 Ом |
100 |
8 |
Lx, Rx соединение параллельное |
R2 = 1,5 кОм L2 = 2 мГн соединение параллельное |
R3 = 2 кОм |
R4 = 3,0 кОм |
150 |
9 |
Lx, Rx соединение параллельное |
R2 = 150 Ом |
L3 = 2,5 мГн R3 = 200 Ом соединение параллельное |
R4 = 300 Ом |
300 |
10 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 2 кОм |
C3 = 4,0 мкФ R3 = 1 кОм соединение последовательное |
R4 = 5 кОм |
150 |
11 |
Lx, Rx соединение параллельное |
R2 = 3 кОм |
C3 = 5 мкФ R3 = 2 кОм соединение последовательное |
R4 = 4 кОм |
200 |
12 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 400 Ом |
R3 = 100 Ом |
C4 = 4,0 мкФ R4 = 200 Ом соединение последовательное |
50 |
13 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 10 кОм |
R3=5кОм |
С4=1,5 мкФ R4=2 кОм соединение параллельное |
1000 |
14 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 100 Ом |
R3 = 1 000 Ом |
C4 = 1 мкФ R4 = 100 Ом соединение последовательное |
1000 |
15 |
Lx, Rx соединение параллельное |
R2 = 500 Ом |
R3 = 200 Ом |
C4= 6 мкФ R4 = 100 Ом соединение последовательное |
100 |
16 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 50 Ом |
R3 = 200 кОм |
C4 = 2 мкФ R4 = 500 Ом соединение последовательное |
100 |
17 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 5 кОм |
C3 = 10 мкФ R3 = 3 кОм соединение последовательное |
R4 = 2,5 кОм |
250 |
18 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 200 Ом |
R3 = 300 Ом |
C4 = 0,5 мкФ R4 = 150 Ом соединение последовательное |
150 |
19 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 1,5 кОм |
R3 = 2 кОм |
C4 = 2,5 мкФ R4 = 4 кОм соединение последовательное |
200 |
20 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2 = 500 Ом |
R3 = 3000 Ом |
C4 = 5 мкФ R4 = 300 Ом соединение последовательное |
150
|
21 |
Lx, Rx соединение Параллельное |
R2=1,2 кОм |
R3=300 Ом |
С4=5,0 мкФ R4=400 Ом соединение последовательное |
400 |
22 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2=5,0 кОм |
L3=0,5 мГн R3=1,5 кОм соединение последовательное |
R4=2,5 кОм |
50 |
23 |
Lx, Rx соединение Параллельное |
R2=1,3 кОм L2=4мГн соединение параллельное |
R3=2,6 кОм |
R4=3,4 кОм |
60 |
24 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2=300 Ом |
L3=5 мГн R3=500Ом соединение последовательное |
R4=400 Ом |
100 |
25 |
Lx, Rx соединение Параллельное |
R2=3 кОм L2=5мГн соединение параллельное |
R3=3,5 кОм |
R4=2,4 кОм |
150 |
26 |
Lx, Rx соединение последовательное |
R2=450 Ом L2=15мГн соединение последовательное |
R3=600Ом |
R4=800 Ом |
175 |
27 |
Lx, Rx соединение Параллельное |
R2=2,5 кОм |
R3=750 Ом |
С4=10 мкФ; R4=800 Ом соединение последовательное |
200 |
б) Определить величину емкости Сх, активного сопротивления Rx и угла потерь, исходя из условия равновесия моста переменного тока, при следующих значениях остальных плеч моста.
Варианты задания
Таблица 4.2
№ п/п |
Значения параметров плеч и схем их соединения |
f, Гц |
|||
Z1=Zx |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
||
1 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 500 Ом |
C3 = 2,5 мкФ R3 = 300 Ом соединение последовательное |
R4 = 800 Ом |
100 |
2 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2 = 4 кОм |
C3 = 0,5 мкФ R3 = 2 кОм соединение параллельное |
R4 = 0,5 Ом |
200 |
3 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2 = 4 кОм; C2 = 5 мкФ соединение параллельное |
R3 = 2 кОм |
R4 = 2 кОм |
250 |
4 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 600 Ом |
C3 = 4,0 мкФ R3 = 200 Ом соединение параллельное |
C4 = 3,0 мкФ |
200 |
5 |
Cx, Rx соединение параллельное |
C2 = 0,5 мкФ
|
C3 = 4 мкФ; R3 = 100 Ом соединение последовательное |
C4 = 2,0 мкФ R4 = 350 Ом соединение последовательное |
100 |
6 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 50 Ом
|
C3 = 0,01 мкФ;
|
R4 = 500 Ом C4 = 0,2 мкФ соединение параллельное |
400 |
7 |
Cx, Rx соединение параллельное |
C2 = 1,5 Ом
|
R3 = 2001 Ом
|
R4 = 4000 Ом C4 = 4,5 мкФ соединение параллельное |
500 |
8 |
Cx, Rx соединение последовательное |
C2 = 2 мкФ
|
R3 = 150 Ом
|
R4 = 1500 Ом C4 = 4 мкФ соединение параллельное |
200 |
9 |
Cx, Rx соединение последовательное |
C2 = 5 мкФ R2 = 800 Ом соединение параллельное |
C3 = 10 мкФ R3 = 1200 Ом соединение параллельное |
R4 = 1000 Ом
|
200 |
10 |
Cx, Rx соединение последовательное |
C2 = 5 мкФ
|
R3 = 500 Ом C3 = 5 мкФ соединение параллельное |
R4 = 1,5 кОм
|
50 |
11 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 2 кОм
|
R3 = 2 кОм C3 = 5 мкФ соединение последовательное |
R4 = 4 кОм
|
50 |
12 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2 = 250 Ом C2 = 10 мкФ соединение параллельное |
R3 = 300 Ом
|
R4 = 150 Ом
|
150 |
13 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2 = 400 Ом
|
R3 = 200 Ом
|
R4 = 100 Ом C4 = 4 мкФ соединение параллельное |
200 |
14 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 100 Ом
|
R3 = 50 Ом
|
R4 = 300 Ом C4 = 2 мкФ соединение последовательное |
50 |
15 |
R1 = 200 Ом
|
R2 = 300 Ом
|
C3 = 1 мкФ R3 = 100 Ом соединение последовательное
|
Cx, Rx соединение последовательное |
100 |
16 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 300 Ом C2 = 5 мкФ соединение последовательное |
R3 = 100 Ом
|
R4 = 200 Ом
|
50 |
17 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2=750 Ом |
R3 = 400 Ом |
R4 = 600 Ом L4 = 0,5 мкФ соединение последовательное |
100 |
18 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 200 Ом C2 = 5 мкФ соединение последовательное |
R3 = 500 Ом
|
R4 = 300 Ом
|
100 |
19 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2 = 3 кОм
|
R3 = 6 кОм C3 = 4 мкФ соединение последовательное |
R4 = 6 кОм
|
200 |
20 |
R1 = 300 Ом |
R2 = 450 Ом
|
R3 = 200 Ом C3 = 5 мкФ соединение параллельное |
Cx, Rx соединение параллельное |
400 |
21 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2=1кОм |
R3 =0,5кОм |
R4 = 600 Ом C4 = 5 кмФ соединение параллельное |
150 |
22 |
Cx, Rx соединение последовательное |
R2=500 Ом |
R3 =800 Ом |
R4 = 400 Ом C4 = 10 кмФ соединение последовательное |
300 |
23 |
R1 = 1,2 кОм |
R2=2 кОм |
R3 = 1,3 кОм C3 = 7,5 мкФ соединение последовательное |
Cx, Rx соединение последовательное |
250 |
24 |
R1 = 2,0 кОм |
R2=1,5 кОм |
R3 = 3,5 кОм C3 = 10 мкФ соединение параллельное |
Cx, Rx соединение последовательное |
500 |
25 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2 = 350 Ом C2 = 3,0 мкФ соединение параллельное |
R3 = 600Ом C3 = 6,0 мкФ соединение параллельное |
R4 = 700 Ом |
50 |
26 |
Cx, Rx соединение последовательное |
C2 = 1,5 мкФ |
R3 = 200 Ом C3 = 5 мкФ соединение последовательное |
R4 = 500 Ом C4 = 3,5 кмФ соединение последовательное |
350 |
27 |
Cx, Rx соединение параллельное |
R2=5,0 кОм |
R3 = 4,0 кОм C3 = 2,5 мкФ соединение параллельное |
R4 = 2,0 кОм |
125 |
Литература
Основы метрологии и электрические измерения /Под. Ред. Е.М. душина – Л.: Энергоатомиздат. 1987.-480с.
Левшина Е.С., Новицкий П.В. Электрические измерения физических величин. - Л.: Энергоатомиздат. 1983.-320с.