11.Задача построения максимальной суммы для подпоследовательности заданной последовательности целых чисел. Метод последовательных уточнений

Представляется естественной необходимость перебрать все сегменты входного вектора {[i..j]/0≤i≤j<n}. С другой стороны, рассуждение методом последовательных уточнений тоже можно трактовать как рассуждение сведением к подзадачам, только разбиение осуществляется скорее наоборот – запредельно разбалансированное: на «почти всё» и «уточняющее дополнение». Представляется, что проанализировать возможности «отбраковки» бесперспективных сегментов на шаге «уточнения» будет легче.

Воспользуемся рассуждением методом последовательных уточнений: § Пусть (префиксная) часть вектора x[0..j] уже обработана, и мы имеем maxsofar - максимальную сумму по всем сегментам этой части вектора (т.е. пока мы видим только эту префиксную часть вектора до j-го его элемента). § Теперь нам надо уточнить имеющееся решение до решения нашей задачи для части вектора x[0..(j+1)](т.е. теперь видим на один элемент дальше). Сегмент с максимальной суммой либо полностью лежит в x[0..j] и тогда maxsofar – решение и для расширенного префикса вектора, либо (j+1) – правый конец этого сегмента, а значит надо рассмотреть все сегменты {[z..(j+1)]/0≤z≤(j+1)}. Кстати, такую подзадачу «по всем сегментам с фиксированным правым концом» мы уже рассматривали в предыдущей программе, но время для неё O(j+2), а в целом для такого алгоритма тогда мы получим O(n2).

Но более важным для нас является следующее наблюдение:

§ Алгоритм, основанный на приведенном рассуждении методом последовательных уточнений, рассматривает сегменты в следующем порядке – все сегменты с правым концом j для каждого j в порядке возрастания. § Но если уже вычислена MaxEndingHere – максимальная сумма по всем сегментам с правым концом j, то не представляет труда уточнить значение этой переменной по всем сегментам с правым концом (j+1) – это просто max(MaxEndingHere+x[j+1],0). Фактически для уточнения значения maxsofar на расширенный префикс x[0..(j+1)] нам нужна была именно MaxEndingHere, а значит необходимость просматривать сегменты с правым концом (j+1) просто совсем отпала...

maxsofar:=0; MaxEndingHere:=0;

FOR j:=0 TO n-1 DO BEGIN

// Пересчитаем максимальную сумму для сегментов с концом j:

MaxEndingHere:=max(MaxEndingHere+x[j],0);

// Пересчитаем максимальную сумму

// для всех сегментов в x[0..j]:

maxsofar:=max(maxsofar,MaxEndingHere)

END

Время работы этой программы Q(n).

Задача эта (в двумерном варианте) возникла в рамках работ по распознаванию образов, при этом сегмент с максимальной суммой элементов отражает наибольшее соответствие между двумя цифровыми изображениями. Первая программа требует ориентировочно 15 дней на решение задачи с характерным размером 100000 элементов, тогда как последний вариант программы решает ту же задачу за 5 миллисекунд. И увеличение скорости компьютера даже в 100 раз не вносит ничего существенного в эту ситуацию с учетом того, что такую задачу приходится решать многократно в рамках реальной задачи распознавания образов. В заключение надо отметить, что асимптотические оценки конечно не охватывают всех важных аспектов вопроса о критериях оценки алгоритмов и программ. Приведем список соображений, позволяющих посмотреть на критерий времени выполнения с других точек зрения.

§ Если создаваемая программа будет использована только несколько раз, тогда стоимость написания и отладки программы будет доминировать в общей стоимости программы, т.е. фактическое время выполнения не окажет существенного влияния на общую стоимость. В этом случае следует предпочесть алгоритм, наиболее простой для реализации... хотя отсюда конечно не следует, что профессиональный программист в этом случае может позволить себе небрежность (граничащую с неграмотностью) в

реализации алгоритма...

Продолжение 11 и начало 13-14.

§ В определении асимптотической оценки фигурируют две константы ($c>0 $n0 ...). Если программа будет работать только с «малыми» входными данными, то степень роста времени выполнения (которая проявляется только для больших n>n0) может иметь меньшее значение, чем мультипликативная константа (c), присутствующая в 31 формуле времени выполнения.

Например, известен алгоритм целочисленного умножения, асимптотически самый эффективный, но он не используется на практике даже для больших задач, потому что его константа пропорциональности значительно превосходит подобные константы других, менее «эффективных» алгоритмов.

§ Известны ___・・примеры, когда эффективные алгоритмы требуют таких больших объемов памяти (и исключают возможность использования более медленных внешних средств хранения), что этот фактор сводит на нет преимущества эффективности алгоритма.

§ В численных алгоритмах точность и устойчивость не менее важны, чем их временная эффективность.

§ Широко распространенное на практике семейство задач – обработка входного потока в префиксном режиме: на вход поступает последовательность, а программа должна выдавать результат для каждого текущего элемента до начала поступления очередного. Если известны ограничения на скорость поступления элементов входного потока, то естественно нет достаточных оснований заниматься разработкой программы, позволяющей обрабатывать такой входной поток со скоростью, во много раз превосходящей скорость поступления элементов на входе.