1.3 Основы динамики жидкости и газа

Гидродинамика изучает законы движения жидкости. Изучение гидродинамики начинается с изучения кинематических характеристик движущейся жидкости и с классификаций видов движения. Методически важно представлять модели движения сплошной среды жидкости, предложенными Лагранжем и Эйлером.

По Лагранжу координаты движущихся частиц задаются функциями времени, а по Эйлеру – полем скоростей движущихся частиц в точках пространства, фиксированных неподвижными координатами.

Вводятся в рассмотрение векторные линии и трубки тока, вихревые линии и трубки тока. Ускорение, определяемое по Лагранжу как производная от скорости по времени, заданное по Эйлеру, состоит из двух частей: локального (местного) в виде частной производной от скорости по времени при неустановившемся движении и конвективного (переносного), обусловленного полем скоростей. Конвективное ускорение имеет место, как при неустановившемся, так и при установившемся во времени движении. Двум видам ускорения соответствуют и две силы инерции: локальная и конвективная.

Кроме двух видов движения, связанных со временем, различают движение равномерное и неравномерное, а также ламинарное (слоистое) и турбулентное (беспорядочное), напорное и безнапорное (со свободной поверхностью).

При изучении напорного движения часто применят модель одномерного движения, имея в виду одну средне расходную скорость в поперечном сечении потока, что позволяет значительно упростить расчёт с приемлемой скоростью. Поперечное сечение потока определяется смоченным периметром и гидравлическим радиусом, равным отношению площади к смоченному периметру.

Дифференциальное уравнение движения идеальной (невязкой, без трения) жидкости можно ввести двумя способами: 1) на основе закона о сохранении количества движения; 2) из уравнения сил в жидкости с присоединением, согласно принципу Д`Аламбера сил инерции с противоположным знаком, уравнение записывается в напряжениях, где напряжение силы инерции равно произведению плотности жидкости на производную от скорости по времени.

Интеграл этого уравнения в частном случае, когда потенциал объёмных сил равен произведению ускорения сил тяжести на геометрическую высоту, состоит из плотности потенциальной энергии и плотности кинетической энергии, равной произведению плотности массы на одну вторую квадрата скорости. В единицах напора это уравнение известно как уравнение Бернулли для идеальной жидкости, связывающего два контрольных сечения потока. В случае реальной (вязкой) жидкости правая часть уравнения Бернулли, относящаяся ко второму сечению, дополняется потерей напора, обусловленной трением.

Математическая формулировка закона сохранения массы представляет собой производную от массы по времени, равной нулю. Гидравлическое уравнение закона сохранения массы выводится применительно к контрольному объёму жидкого тела, выделенного двумя сечениями в потоке с одномерным движением, который условно перемещается по течению за отрезок времени dt. Определяя приращение массы в контрольный объём, равное нулю, получают уравнение неразрывности в виде постоянства расхода в любом сечении потока с разной площадью и разной средней скоростью. Следствием из уравнения является соотношение скоростей обратно пропорциональное площади сечений.

Математическая формулировка закона сохранения количества движения представляет собой производную от количества движения по времени, равной главному вектору всех внешних сил (второй закон механики Ньютона). Гидравлическое уравнение закона сохранения количества движения выводится аналогично уравнению закону сохранения массы и представлено в векторной форме в виде произведения массового расхода (размерность кг/с) на разность векторов скоростей во втором и первом контрольном сечении потока, равного главному вектору всех внешних сил, действующих на выделенный контрольный объём жидкости (правая часть уравнения).

Старое название закона об изменении кинетической энергии – закон «живых сил», предложенный Лейбницем в совершенной трактовке гласит: «Изменение кинетической энергии движущего тела равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на тело».

Гидравлическое уравнение этого закона представляет собой уравнение баланса (сохранения) механической энергии потока при одномерном движении, выраженном в виде суммы потенциальной и кинетической энергии с учётом потери (давления), затраченную на работу внутренних сил трения. Плотность кинетической энергии, выраженной в единицах давления, является гидродинамическим давлением. Уравнение баланса энергии, записанное в единицах напора, представляет собой уравнение Д. Бернулли для установившегося движения реальной (вязкой) жидкости (или газа при изотермическом движении).