Тема 5. Дюрация
Дюрация Маколея - говорит о том, когда в среднем будут получены платежи по облигациям, включая купоны и номинал, т.е. это средне-взвешенное время всех выплат по облигации. Дюрация измеряется в годах.
Весами времени платежей по облигациям выступают удельные веса приведенной стоимости плетежей, т.е. купона и номинала, в стоимости облигации.
Если купон 1 раз в год:
формула (5.1)
D- Дюрация Маколея, N-номинал, Р-цена облигации, 1,2...n-годы выпуска купонов и номинала по облигации, С - купон облигации, n-кол-во лет до погашения облигации, r-доходность до погашения облигации.
Или
формула (5.2)
если купон m раз в год:
формула (5.3)
По формуле (5.3) ответ получается в купонных периодах. Перевести полученный результат в годы можно по формуле:
формула (5.4)
Если до погашения облигации много лет, то вычисления по формуле (5.2) трудоемки. Формулу можно привести к более компактному виду:
формула (5.5)
Если купон выплачивается по облигации m раз в год, то дюрацию можно рассчитать по формуле:
формула (5.6)
Дюрация как эластичность цены облигации по процентной ставке.
Дюрация Хикса формула (5.7)
-небольшое
изменение цены облигации
-небольшое
изменение доходности до погашения
облигации
-
процентное изменение Р облигации
–
процентное изменение r
облигации
В формуле (5.7) стоит знак «-», чтобы сделать показатель дюрации положит. величиной, т.к. цена облигации и %ставка изменяется в противоположном направлении.
Дюрация показывает, на сколько %-тов изменится цена облигации при 1% изменении доходности до погашения.
Дюрация Маколея в рамках подхода Хикса формула (5.8) измеряется в годах:
Процентное изменение доходности до
погашения =
В данном применении Дюрация Маколея не дает точной оценки %-го изменения цены облигации, т.к. является линейной мерой такой оценки и чем больше изм-ся доходность до погашения облигации, тем менее точна оценка.
Модифицированная Дюрация (
)
Формула (5.9):
=
изм-ся в %
Или
формула (5.10)
-
формула (5.11)
Формула (5.11) показывает, что модиф. дюрация говорит о том, на сколько % приблизительно изм-ся цена облигации при изм. ее доходности до погаш. на 1%. Модифиц. дюрация дает более точную оценку, чем Дюрация Маколея.
Выразим из формулы 5.11 величину
Формула (5.12)
-это Дюрация в денежном выражении или
денежная Дюрация.
Определение изменения цены облигации с помощью модифицированной дюрации.
Умножим обе части равенства 5.12 на
формула (5.13)
Данное равенство позволяет определить изменение цены облигации при изменении ее доходности до погашения на небольшую величину.
Эффективная Дюрация
Модифицированую дюрацию можно рассчитать не на основе вышеприведенных формул, а разностным методом (методом конечных разностей). Апроксимация значения модифицированной дюрации, рассчитанная по след. формулам называется эффективной дюрацией.
Формула (5.14)
Где - изменение дох-ти до погашения,
-цена
облигации при росте дох-ти до погашения
на величину
-цена
облигации при падении дох-ти до погашения
на величину
Чем меньше , тем меньше ошибка.
Критерий 1/8
Критерий 1/8 показывает, на сколько процентов должна измениться рыночная доходность, изменении цены облигации на «1/8» денежной единицы.
В формуле (5.7) стоит знак «-», чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, т.к. цена облигации к % ставке изменяется в противоположном направлении. Дюрация показывает, насколько % изменится цена облигации при 1% изменения доходности до погашения.
Дюрация Маколея в рамках подхода
??? (кого-то там):
(5.8) (измеряется в годах)
Процентное изменение доходности до
погашения =
.
В данном применении Дюрация Маколея
не дает точной оценки процентного
изменения цены облигации, т.к. является
линейной мерой такой оценки, и чем больше
изменяется доходность до погашения,
тем менее точна оценка.
Модифицированная дюрация (Дm):
(5.9)
Дm=
(5.10)
(5.11)
Формула 5.11 показывает, что модифицированная
дюрация показывает насколько %
приблизительно изменится цена облигации
при изменении доходности до погашения
на 1%. Модифицированная дюрация даст
более точную оценку, чем дюрация Маколея.
Выразим из формулы 5.11 величину
:
=-Дm*р
(-дюрация в денежном выражении или
долларовая дюрация)
Определения изменения цены облигации
с помощью модифицированной дюрации:
умножим обе части равенства 5.12 на
:
m*p*
r
(5.13) Данное равенство позволяет определить
изменении цены облигации при изменении
ее доходности до погашения на небольшую
величину.
Эффективная дюрация: Модифицированную
дюрацию можно рассчитать не на основе
вышеприведенных формул, а разностным
методом (методом конечных разностей).
Аппроксимация значения модифицированной
дюрации, рассчитанная по следующей
формуле называется эффективной дюрацией:
Дэф=
(здесь + и -
является
индексом Р и означает изменении доходности
до погашения).
– цены облигации при росте/ падении
доходности до погашения на величину
.
Чем меньше
тем меньше ошибка.
Критерий 1/8: Этот критерий показывает, насколько % должна измениться рыночная доходность при изменении цены облигации на «1/8» денежной единицы.
Задача 5.1
Номинал облигации равен 1000 рублей, цена 1066,24 рублей, купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея.
N=1000 руб
С= 0,1*1000=100
P= 1066,24
n = 4
r=0,08
(5.1)
(5.2)
Задача 5.2
Номинал облигации 1000 рублей, цена равна номиналу, купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 2 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.
N=1000
C=0,1*1000=100
P=1000
n=2
m= 2
r=0,1
(5.3)
(5.4)
Задача 5.3
Номинал облигации 1000 рублей, цена 920,37 рублей, купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Маколея облигации.
N=1000
C=0,1*1000=100
P=920,37
n= 20
r=0,11
(5.5)
Задача 5.4
Номинал облигации 1000 рублей, цена 917,77 рублей, купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Маколея облигации.
N=1000
C=0,1*1000=100
P=917,77
m=2
n=20
r=0,11
(5.6)
5.5.Номинал облигации 1000 рублей, цена равна номиналу, купон 10%,выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 5 лет, доходность до погашения 10%,дюрация 4,17 года. Определить процентное изменение цены облигации при процентном росте её доходности до погашения на один процент.
Дано: N=1000,p=N=1000,f=0,1,m=1,n=5,r =0,1,D=4,17.
Решение: Процентное изменение доходности
за погашение =
;
Согласно формуле (5.8) процентное изменение цены облигации равно:
Насколько полученная оценка является
точной: Если доходность до погашения
облигации возрастёт на 1,1%, то она составит
11,1%. Её цена снизится до 963,04 руб. Фактическое
процентное изменение цены составит
Т.о. дюрация даёт значение с некоторой
погрешностью. Если доходность облигации
упадёт на 1,1%, т.е. до 8,9%, то её цена вырастет
до 1042,9 руб., и процентное изменение цены
составит 4,29 %.
5.6. Номинал облигации 1000 рублей, цена равна номиналу, купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 5 лет, доходность до погашения 10%, дюрация 4,17 года. Определить модифицированную дюрацию.
Дано:N=1000, p=1000,f=0,1,m=1,n=5,r=0,10.
Решение: формула (5.9) D=4,17,
Dm=
5.7. Номинал облигации 1000 рублей, цена 1017,53 рублей, купон 6%, выплачивается один раз в год, до погашенияоблигации 4 года, доходность до погашения облигации 5,5%. Дюрация Маколея 3,676 года. Определить процентное изменение цены облигации при падении её доходности до погашения на 1%.
Дано:N=1000,p=1017,53,f=0,06,m=1,n=4,r=0,055,D=3,676.
Решение:
Фактическое значение процентного роста цены облигации составляет 3,566%.
5.8.Номинал облигации 1000рублей, цена 1027,23 рублей, купон 6%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 3 года, доходность до погашения 5%, модифицированная дюрация 2,701. Определить,как изменится цена облигации при росте её доходности до погашения на 0,25%.
Дано:N=1000,p=1027,23,f=0,06,m=1,n=3,r=0,05,Dm=2,701,
Решение: формула (5.13)
рублей. Знак «-» говорит о том, что цена
облигации понизится.
Задача 5.9. Номинал облигации 1000, купон 6%, выплата раз в год, 5 лет до погашения, дох до погашения 7%. Опр. Эффект-ую дюрацию, взяв изменение дох до погашения в 2 базисных пункта
N=1000, f=0,06, m=1, n=5, r=0.07, delta r=2бп(0.0002в долях ед)
r=7-P=958.9980
r=7.02-P=958.2004
r=6.98-P=959.7965
Dэф=
=4,1610278
5.10 Цена облигации 129.86, рыночная % ставка 15%, критерий 1/8=0,25. Определить чему равна рыночная цена облигации, если % ставка увеличится до 18
P1=129.86 r1=0.15 r2=0.18 F1/8=0.25
Delta r=18-15=3, 3%:25%=12, r↑ - P↓,
P2=P1-12*⅛=128.38
5.11Рыночкая цена облигации 120, рыночная % ставка 12%, критерий 1/8=0,2. Определить чему равна рыночная цена облигации, если % ставка снизится до 111
P1=120 r1=0.12 r2=0.11 F1/8=0.2
Delta r=11-12=-1, 1%:0.2%=5, r↓ - P↑,
P2=P1+12*⅛=120.63
5.12Рыночкая цена облигации 100, рыночная % ставка 8%, критерий 1/8=0,2. Расчитать размер рыночной % ставки, изменение которой привело к снижению рыночной цены облигации до 98.5.
P1=100 r1=0.8 P2=98.5 F1/8=0.2
Delta P=1.5 = 3/2=12/8 12%*0.2%=2.4%
8+2.4%=10.4%
6. Кривизна
Кривизна (conv) – показывает (среднюю) скорость изменения угла наклона дюрации
- измеряет среднее изменение дюрации при изменении доходности до погашения на 1 безисный пункт.
Conv=
(6.1)
Еденица измерения – это годы в квадрате
Определение процентного изменения цены облигации с помощью показателей дюрации и кривизны
(6.2)
Определение изменения цены облигации при изменении % ставки
(6.3)
6.1 Номинал облигации 1000р. Купон 20 %, выплачивается 1 раз в год, до погашения бумаги 3 года, доходность до погашения 20%. Текущая цена облигации равна номиналу. Определить кривизну облигации.
N=1000, f=0.2, m=1, n=3, r=0.2, P=N, Conv-?
Conv=
(6.1)
6,2 Модифицированная дюрация облигации равно 2,107, кривизна 6,597. Определить процентное изменение цены облигации при росте и падении доходности до погашения на 1%
Dm=2.107, conv=6.597,
,
(6,2)
А) при увеличении
или 2,074% цена упадет
Б) при снижении
0,0214
или 2,14% цена вырастет
6.3 Определить на какую величину измениться цена облигации из задачи 6.2 при росте доходности до погашения на 1% (6,3)
Цена упадет на
или 2,074% руб.