2.3.Выявление общей тенденции развития процентных ставок: построение тренда, циклические и сезонные колебания.

Анализ движения процентных ставок и проверка их колебаний на случайность позволяют определить общую тенденцию разви­тия показателя во времени с помощью построения трендовых моделей. Построение тренда состоит в аналитическом выравни­вании эмпирических данных с целью сглаживания колебаний зна­чений признака.

Для определения основной тенденции развития явления во времени используют различные аналитические функции. С по­мощью математических методов подбирается такое уравнение тренда, которое максимально точно отображает изменение по­казателя во времени и обеспечивает близость значений эмпири­ческих и выравненных данных. На практике чаще всего использу­ют следующие аппроксимирующие функции:

• линейная

• гипербола

• показательная

• степенная

• парабола второго порядка

Первым этапом построения тренда является выбор типа ана­литической функции. Вторым этапом является поиск значений параметров уравне­ния. Параметры трендовых моделей определяются с помощью системы нормальных уравнений. Для того чтобы получить максимально точный результат ана­литического выравнивания эмпирических данных, характеризу­ющих уровень процентных ставок, строят несколько трендовых моделей с применением различных аппроксимирующих функций. Далее, фактические и теоретические данные наносят на график и получают информацию о том, какая из выбранных функций наиболее реально отражает общую тенденцию развития иссле­дуемого показателя.

С целью окончательного выбора формы тренда сопоставля­ют показатели вариации (дисперсию, среднее квадратическое от­клонение и коэффициент вариации) эмпирических данных относительно выравненных уровней ряда динамики.

Значения показателей вариации, которые рассчитывают для уточнения формы тренда процентных ставок, могут оказаться достаточно высокими (например, коэффициент вариации состав­ляет 35% и более), что свидетельствует о широкой амплитуде колебаний уровней фактических данных относительно выравнен­ных. Это позволяет предположить, что динамика показателя скла­дывалась под воздействием различных факторов, в том числе циклических, сезонных и случайных.

Изменение стоимости ссудных средств во времени может быть обусловлено влиянием различных факторов, в том числе эволю­ционного и осциллятивного характера. Кроме того, в процессе анализа динамики процентных ставок следует учитывать нере­гулярные колебания, которые могут возникнуть в результате спорадически наступающих событий (война, чрезвычайные со­бытия и т.д.) и случайных колебаний, вызванных действием боль­шого количества несущественных факторов.

Влияние эволюционного фактора проявляется в общей тен­денции развития и характеризуется с помощью различных трендовых моделей, а осциллятивного фактора — в циклических (конъюнктурных) и сезонных колебаниях и определяется с помо­щью различных статистических методов. Циклические колеба­ния состоят в том, что значение признака в определенный пери­од времени возрастает, достигает максимума, затем снижается и достигает минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т.д. Циклические колебания в экономике приблизительно соот­ветствуют циклам конъюнктуры, т.е. характеризуют спад и подъем производства. Сезонные — это устойчивые, периоди­чески повторяющиеся внутригодовые (внутримесячные, внутридневные) колебания.

Целью статистического анализа циклических колебаний про­центных ставок являются исследование длины циклов (продол­жительность периода времени между двумя смежными пиками), их амплитуда, период запаздывания, автокорреляции в остатках ряда и другие параметры.

Если ряд динамики процентных ставок разбить на различ­ные компоненты, то он может быть представлен следующей фун­кцией:

= (Т,К,S,Е),

Где : Т — основная тенденция (тренд);

К — циклические (конъюнктурные) колебания;

S — сезонные колебания;

Е — случайные колебания.

Исходя из взаимосвязи компонентов между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда ди­намики ссудных процентов. Применение аддитивной модели пред­полагает, что характер циклических и сезонных колебаний оста­ется постоянным и выражается следующей формулой:

Мультипликативная модель учитывает постоянный характер циклических и сезонных колебаний только по отношению к тренду и выражается уравнением:

На практике применяются различные способы исследования циклических колебаний процентных ставок, в том числе изуче­ние вариации вокруг трендов, исключение сезонных колебаний, гармонический анализ и ряд других.

Выявление циклических колебаний осуществляют путем эли­минирования тренда. Для этого рассчитывают либо разность между фактическими и выравненными данными уровней процен­тов ( ), что позволяет определить циклические колебания как составную часть остаточной вариации, либо процентные отношения фактических данных к теоретическим ( ), что дает воз­можность соотнести амплитуду циклов с уровнями тренда. Вто­рой вариант расчета более универсален, его целесообразно применять в случае, если тренд имеет четкую тенденцию к росту или снижению. При использовании процентных отношений взаимо­связь между компонентами вариации ряда динамики определя­ется мультипликативной моделью.

Одним из способов определения циклических колебаний яв­ляется гармонический анализ временного ряда процентных ста­вок, который заключается в нахождении конечной суммы уров­ней ряда с использованием функций косинусов и синусов времени. Каждый член ряда динамики рассчитывается как слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов опре­деленного порядка. Таким образом, заданная периодическая фун­кция выражается в виде ряда Фурье по гармоникам разных поряд­ков.

Примитивный ряд динамики процентных ставок может быть выражен как

где t — период времени;

А — полуамплитуда колебания, т. е. максимальное и минимальное отклонения от оси t ;

---- начальная фаза колебания.

При t = О синусоида принимает следующий вид: у = А

Аппроксимация динамики процентных ставок ряда Фурье зак­лючается в подборе таких гармонических колебаний, сумма которых отражала бы периодические колебания фактических уров­ней процентов. Ряд Фурье дает возможность представить дина­мику ссудных процентов в виде функции времени, в которой сла­гаемые расположены по убыванию периодов времени:

Величина k определяет гармонику ряда Фурье и определяется целым числом, как правило, в пределах от 1 до 4. Параметры урав­нения находят с помощью системы нормальных уравнений спо­собом наименьших квадратов.

Значения t определяются от 0 с приростом, равным 2 П/n, где п — число уровней ряда динамики.

В результате этих расче­тов получаем выравненные уровни отклонений процентных ставок за год. Вычислив остаточные дисперсии для гармоник, мож­но определить, какая гармоника ряда Фурье максимально при­ближена к эмпирическим данным, т.е. какая гармоника наиболее точно характеризует циклические колебания процентных ставок.

После нанесения ординат синусоидально-косинусоидальной функции на график можно получить наглядное представление о широте амплитуды, характере и продолжительности цикла, оп­ределить его начало и окончание.

Более простым способом выявления циклических колебаний процентных ставок является метод скользящей средней. По сколь­зящей средней можно выравнивать как фактические данные ряда динамики, так и их процентные отношения к тренду. Суть этого метода заключается в том, что рассчитывается средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда (как правило, трех, пяти или семи), далее — средний уровень из тако­го числа уровней, начиная со второго, затем — начиная с третьего и т.д.

Выравнивание фактических уровней процентных ставок мето­дом скользящей средней осуществляется следующим образом.

1. Определяем интервал сглаживания, т.е. число уровней ряда (т), входящих в него. При этом следует учесть, что если сглажи­ваются мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглажи­вания максимально увеличивают, а если необходимо мелкие ко­лебания сохранить и нивелировать периодические, то интервал сглаживания уменьшают.

2. Рассчитываем среднее значение уровней, входящих в ин­тервал сглаживания по формуле:

где — фактическое значение i-го уровня;

i — порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

p=(т - 1 )/ 2 при нечетном т.

3. Производим передвижку интервала сглаживания на одну точку вправо и вычисляем среднее значение для t + 1 члена и т.д. В результате последовательно проведенных манипуляций полу­чаем ряд преобразованных сглаженных уровней в количестве п (т - 1).

4. Наносим значения эмпирических и выравненных данных на график для получения наглядного изображения циклических ко­лебаний процентных ставок.

Циклические колебания процентных ставок проявляются бо­лее отчетливо, если предварительно исключить сезонные коле­бания. На практике для определения сезонных колебаний в рядах динамики применяют индексы сезонности, совокупность ко­торых отражает сезонную волну. Для расчета сезонных колеба­ний берут данные за несколько лет (месяцев), распределенные по месяцам (дням). Данные за несколько периодов времени (не менее трех) используются для того, чтобы определить устойчивую сезонную волну и избежать влияния случайных факторов, кото­рые характерны только для одного года или месяца.

В зависимости от исходной информации о фактических уровнях процентных ставок индексы сезонности рассчитываются двумя спо­собами.

1. Если фактические уровни процентных ставок не содержат ярко выраженной тенденции в развитии за анализируемый пери­од времени, то индекс сезонности рассчитывается непосредствен­но по эмпирическим данным без их предварительного выравни­вания. В этом случае индекс сезонности определяется как отно­шение средней величины уровня за несколько временных периодов (например, за три года) к общей постоянной средней величине, рассчитанной за весь анализируемый период.

2. Если фактические уровни процентных ставок содержат определенную тенденцию в развитии, то фактические данные предварительно должны быть выравнены для определения общей тенденции. В этом случае индекс сезонности рассчитывается как отношение фактических данных к выравненным.

где n — число уровней ряда.