Линеаризованная модель контура фапч

Построим модель контура ФАПЧ, а также рассмотрим его передаточную характеристику . Для начала вспомним, что ГУН интегрирует сигнал ошибки , согласно (2), значит его передаточная характеристика равна , вместе с тем сам сигнал ошибки выражается как синус разности фаз согласно (4). Тогда можно представить модель контура ФАПЧ как это показано на рисунке 4.

Рисунок 4: Модель контура ФАПЧ

В модель на рисунке 4 входит нелинейный элемент вычисляющий синус разности фаз принятого и опорного колебания, что существенно затрудняет аналитический анализ передаточной характеристики контура ФАПЧ. Однако можно обратить внимание, что в установившемся режиме слежения за фазой когда стремится сравняться с , их разность стремится к нулю, т.е. , тогда , причем коэффициент 1/2 может быть учтен в коэффициенте передаточной функции ГУН. Таким образом в установившемся режиме, нелинейный элемент может быть исключен, и модель контура ФАПЧ показана на рисунке 5.

Рисунок 5: Линеаризованная модель контура ФАПЧ

Обозначим как и образы по Лапласу и соответственно, тогда можно записать следующее операторное уравнение линеаризованного контура ФАПЧ:

(10)

Раскроем скобки:

(11)

откуда можно выразить передаточную характеристику контура ФАПЧ:

(12)

До текущего момента мы не обсуждали свойства передаточной характеристики петлевого фильтра , однако мы говорили, что нам требуется порядок астатизма контура равный двум, а значит должна содержать полиномы второй степени. Таким образом должна иметь первый порядок. Зададим в виде:

(13)

где и – пропорциональный и интегральный коэффициенты. Сигнал ошибки в этом случае можно выразить, если вспомнить, что в операторном виде соответствует интегратору, тогда:

(14)

Подставив (13) в (12) получим передаточную характеристику линеаризованного контура ФАПЧ:

(15)

Для упрощения введем следующие обозначения:

(16)

тогда

(17)

Получили, что линеаризованный контур ФАПЧ представляет собой фильтр второго порядка с резонансной частотой и коэффициентом затухания (демпинг фактором damping factor)

Комплексный коэффициент передачи линеаризованного контура ФАПЧ равен:

(18)

АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ равна:

(19)

Рассмотрим основные частотные соотношения в линеаризованном контуре ФАПЧ.

При АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ равна .

При получим:

(20)

На резонансной частоте АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ всегда больше единицы, причем при устремлении к нулю стремится к бесконечности.

При получим:

(21)

Таким образом АЧХ контура ФАПЧ убывает как (20 дБ/декада).

Рассмотрим частоту при которых . Для этого необходимо решить уравнение (19) при относительно частоты . Возводя в квадрат и перенося знаменатель в левую часть получим:

(22)

Раскрывая скобки и приводя подобные получим:

(23)

Основные частотные соотношения АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ показаны на рисунке 6.

Рисунок 6: Основные частотные соотношения АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ

На рисунке 7 показаны логарифмические АЧХ

(24)

и ФЧХ линеаризованного контура ФАПЧ, от частоты, нормированной к резонансной частоте при различных параметрах .

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер

Рисунок 7: Логарифмические АЧХ и ФЧХ