Вариант № 1

1. вычислить интегралы

1.1 ;

1.2

2. найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: .

3. определить объем тела, образованного вращением плоской фигуры (ограниченной данными линиями) вокруг указанной оси: вокруг оси Оу.

4. вычислить несобственный интеграл или показать, что он расходится

6.1 ;

6.2 .

5. вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость удельного веса δ, заполняющую полусферический резервуар радиуса R. Принять R= 3 м.

6. по закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности ρ давит на площадку S при глубине погружения Н равна Р= ρgНS. С какой силой жидкость плотности ρ давит на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h, погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание треугольника находится на ее поверхности.

Вариант № 2

1. Вычислить интегралы

1.1 ;

1.2

2. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: .

3. вычислить площадь поверхности, образованной вращением плоской фигуры (ограниченной данными линиями) вокруг указанной оси: вокруг оси Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или показать, что он расходится

6.1 ;

6.2 .

5. котел имеет форму параболоида вращения. Радиус основания R, глубина котла Н. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать из котла бензин плотностью ρ = 0.7·10^-3 кг/м³. Принять R= 3 м, Н = 5 м.

6. по закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности ρ давит на площадку S при глубине погружения Н равна Р = ρgНS. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости удельного веса δ.

Вариант № 3

1. Вычислить интегралы

   1.1

   1.2

2. найти площадь фигуры, ограниченной астроидой: .

3. определить объем тела, образованного вращением плоской фигуры (ограниченной данными линиями) вокруг указанной оси: вокруг оси Ох.

4. Вычислить несобственный интеграл или показать, что он расходится

6.1 ;

6.2 .

5. вычислить работу, необходимую для выкачивания жидкости удельного веса δ из резервуара, имеющего форму обращенного вниз кругового конуса. Радиус основания конуса R, высота Н. Принять R= 7 м, Н = 3 м.

6. по закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности ρ давит на площадку S при глубине погружения Н равна Р = ρgНS. Вертикальная плотина имеет форму трапеции с верхним основанием а, нижним основанием b и высотой h. вычислить силу давления воды плотности ρ на плотину.

Вариант № 4

1. вычислить интегралы

1.1

1.2

2. найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: .

3. вычислить площадь поверхности, образованной вращением плоской фигуры (ограниченной данными линиями) вокруг указанной оси: вокруг оси Ох.

4. вычислить несобственный интеграл или показать, что он расходится

   6.1 ;

   6.2 .

5. вычислить работу, необходимую для выкачивания бензина плотностью ρ= 0.7·10^-3 кг/м³ из вертикального цилиндрического резервуара радиусом основания R, высотой Н. Принять R= 2 м, Н = 5 м.

6. по закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности ρ давит на площадку S при глубине погружения Н равна Р = ρgНS. Найти силу давления жидкости удельного веса δ на вертикальный эллипс с осями 2а и 2b, центр которого погружен в жидкость на глубину h (h≥ b), причем большая ось эллипса параллельна уровню жидкости.