Четырехугольник

Четырех угольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершины четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих эти точки отрезков (стороны четырехугольника). При этом:  1. ни какие три данные точки не лежат на одной прямой;  2. соединяющие эти точки отрезки не должны не пересекаться.  Точки A, B, C, D – вершины четырех угольника.  Отрезки AB, BC, CD, DA – стороны четырехугольника.  Вершины четырех угольника называются соседними вершинами, если они являются концами одной из его сторон. Например, вершины A и B – соседние.  Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими вершинами. Отрезки, которые соединяют противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними (смежными) сторонами. Стороны, не имеющие общих вершин, называются противолежащими сторонами. Сумму длин всех сторон четырехугольника будем называть периметром. P = AB + BC + CD + DA.

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. 

Теорема. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.   

Теорема. Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.   

Теорема. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.   

Свойства параллелограмма

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.  2. У параллелограмма противолежащие стороны равны.  3.  У параллелограмма противолежащие углы равны. 

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. 

свойство прямоугольника   Диагонали прямоугольника равны. 

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.   

Теорема. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.   

Теорема. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб. 

Свойства ромба:  1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.  Квадрат обладает следующими свойствами:  1. у квадрата все углы прямые;  2. диагонали квадрата равны;  3. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции.  Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.  BC и AD – основания трапеции.  AB и CD – боковые стороны трапеции.   Трапеция EFGI – равнобокая трапеция. У этой трапеции боковые стороны равны. EF = GI.  Отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. ST – средняя линия трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.