Треугольник Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.   Треугольник обозначается указанием его вершин: Δ ABC.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.    B1D1 – высота треугольника A1B1C1, опущенная из вершины B1. B2D2 – высота треугольника A2B2C2, опущенная из вершины B2.  Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.   EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.  Биссектриса треугольника делит сторону треугольника пропорционально двум другим сторонам. Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.    RX – медиана угла SRT. SX = XT. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180º.  Равноберенный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми (AC и CB), а третья сторона называется основанием (AB).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.  Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный. 

 

Внешние углы треугольника

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.  Теорема Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним   

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны – катетами. AC и AB – катеты, BC – гипотенуза. 

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.   Косинус угла α обозначается: cos α.   Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.   Синус угла α обозначается: sin α.  Тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла α обозначается: tg α.   

Теоремы косинусов и синусов.

Теорема косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: a²=b²+c²-2bc·cosɑ.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: = = =2R

Окружность

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности. AO – радиус.   Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.  AB – хорда, CD – диаметр.  Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной, а их общая точка – точкой касания. Pадиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.   a – касательная, OA ⊥ a.

Касание окружностей

Через точку касания можно провести касательную к одной из окружностей, которая является одновременно и касательной к другой окружности. Касание окружностей бывает внутренним и внешним. Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от касательной. Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от касательной 

Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей.  Уравнение окружности Центр в точке A1 (a; b) и радиусом R: (x-a)²+(y-b)²=R² - это уравнение окружности.  Если центр окружности находится в начале координат, т.е. a=0 и b=0, то уравнение окружности принимает вид: x²+y²=R² Уравнение прямой. Уравнение вида ax + by + c = 0 при условии, что a и b одновременно не равны нулю, задает прямую в плоскости Oxy, и наоборот, уравнение произвольной прямой может быть записано в указанном виде.

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.  Теорема. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.