Лекция-11 Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа. Закон полного тока. Сила Лоренца. Закон Ампера. Теорема Гаусса для магнитного поля.

До настоящего времени электрический заряд удавалось наблюдать как целое кратное от элементарного заряда е = 1,6 · 10^–19 А·с. т.е. самые легкие электрический заряженные частицы – это отрицательно заряженные электроны и его положительно заряженный «антипод» – позитрон (оба имеют одинаковую массу т=9,109·10^–31 кг). Заряд и масса электрона относятся к числу универсальных мировых констант (так называют постоянные величины, которые образуют фундамент всей физики). Эти константы являются константами, т.е. не зависят ни от системы отсчета, ни от способа их экспериментального измерения. К их числу также относятся скорость света в вакууме с, гравитационная константа и т.д. эти константы всегда встречаются в природе в одном и том же качестве; их нельзя свести ни к каким другим величинам, они совершенно независимы от конкретных условий эксперимента; универсальные константы служат объективными величинами независящего от нашего сознания реального внешнего мира. Макс Планк говорил, что «конечной целью научного познания можно считать нахождение всех мировых констант и сведение к ним всех физических и химических процессов».

Электрическое поле и Магнитное поле. Что является основой электрических и гравитационных сил: близкодействие или дальнодействие? Кулон и Ньютон принимали как данное, что эти взаимодействия распространяются с бесконечно большой скоростью и, т.о., одно тело действует на другое без малейшего запаздывания во времени. Такая теория дальнодействия вообще не ставит вопроса о том, посредством какого механизма передается взаимодействие в пространстве.

Позднее была измерена скорость света т удалось показать ее конечность и теснейшую связь с электрическими процессами. Здесь была принята теория близкодействия: электрическая сила передается из одной точки среды в близлежащую, что приводит к запаздыванию во времени. Так возникла гипотеза мирового эфира. Основой этого научного направления было понятие поля, выдвинутое английским ученым физиком Майклом Фарадеем (1791–1867); согласно его гипотезе, все основные взаимодействия передаются посредством особого изменения окружающего пространства. Эти идеи и его дальнейшие исследования сделали Фарадея поистине основателем современного электромагнетизма. Понятия электрического и магнитного полей можно пояснить с помощью соответствующих экспериментов: если в пространство между двумя заряженными телами поместить мельчайшую частицу стекловолокна, или в пространство между полюсами магнита – железные опилки, то и те и другие частицы установятся вдоль характерных линий, которые Фарадей назвал силовыми линиями поля. Они указывают интенсивность и направление силы, действующей в каждой точке пространства. В гравитационном поле двух взаимно притягивающихся масс невозможно наглядно показать силовые линии ввиду чрезвычайной малости сил.

Природные магниты и компас. Более 2000 лет назад народам, населяющим Малую Азию, было уже известно, что некоторые природные материалы обладают способностью притягиваться друг к другу и притягивать кусочки железа. Так как эти материалы впервые были обнаружены в районе древнего города Магнесия, расположенного в Малой Азии, их называли магнитным железняком или просто магнитами. Они обладали следующими свойствами:

• Притягивать железосодержащие предметы;

• Ориентироваться одним концом стержня магнитного железняка («северным полюсом») не географический север; т.е. длинные, узкие магниты располагались в направлении север–юг. Это привело к открытию компаса – прибор для целей навигации. Компас дает возможность определять направления стран света.

• Отталкиваться друг от друга одноименными полюсами, а разноименными полюсами – притягиваются. Северный полюс N магнитной стрелки компаса притягивается к южному S полюсу Земли, который расположен недалеко от географического северного N полюса Земли, но не совпадает с ним.

• Намагничивать другие железосодержащие предметы при трении или контакте.

На рис.1 изображены линии магнитной индукции полосового магнита – как мы уже говорили, они выходят из северного полюса N и входят в южный S. В начале казалось, что здесь наблюдается полная аналогия с линиями напряженности электростатического поля и полюсы магнитов играют роль магнитных «зарядов» (магнитных монополей)..

S N

N S

Рис.1. Магнитные силовые линии простого полосового магнита

Опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разделить нельзя, т.е. в отличие от электрических зарядов свободные магнитные «заряды» не существуют, поэтому линии магнитной индукции не могут обрабатываться на полюсах. В дальнейшем было установлено, что внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле, аналогичное полю внутри соленоида, и линии магнитной индукции этого магнитного поля являются продолжением линий индукции вне магнита. Т.о., линии постоянных магнитов являются также замкнутыми.

Попытки обнаружить монополюсный магнит (например, разрезая стрежневой магнит пополам) оказались безуспешными: у магнита всегда два полюса. Т.е. северный и южный полюсы магнита не могут существовать независимо друг от друга.

Рис.2. Магнитные силовые линии постоянного магнита. Показаны лишь некоторые линии, лежащие в плоскости.

Магнитное поле рамки с током. Если проводник с током согнуть в виде окружности, то какую форму будут иметь магнитные силовые линии создаваемого им магнитного поля? Представим, что проводник, изображенный на рис. 3, согнут в виде петли, и применим правило правой руки, чтобы определить направление магнитных силовых линий. Внутри рамки магнитные силовые линии поля, созданного всеми частями рамки с током, имеют одинаковое направление (рис. 3). Поскольку магнитные силовые линии здесь расходятся и создают поле, аналогичное полю полосового магнита (рис. 2), для магнитного поля рамки с током мы также можем определить северный и южный полюсы. Заметим, что в этом случае действует правило правой руки в другой формулировке. Если пальцы правой руки сжаты в направлении, соответствующем направлению тока в рамке, то большой палец указывает направление, в котором магнитные силовые линии пересекают рамку. Можно сказать и иначе! большой палец указывает направление от южного полюса поля к северному,

Рис. 3. Картина силовых линий вокруг рамки с током. Заметим, что это поле сходно с полем (очень короткого) полосового магнита

В электрических приборах встречаются магниты одного типа, состоящие из проводника с током, накрученного на железный стержень; это устройство называется электромагнитом. Если подобный магнит имеет форму, показанную на рис. 4, то магнитные силовые линии ориентируются таким образом, что между полюсами создается сильное однородное поле. Более того, величину этого поля можно изменять, изменяя силу тока, протекающего в проводнике. Заметим, что направление магнитных силовых линий в этом случае определяется по тому же правилу, что и направление магнитных силовых линий поля рамки, изображенной на рис. 4

Рис. 4. Электрон, движущийся устойчиво вокруг атомного ядра, создает магнитное поле, эквивалентное полю витка с током. Отметим, что ток течет в направлении, противоположном направлению скорости движения электрона, поскольку электрон несет отрицательный заряд

Чрезвычайно слабые проявления магнетизма обнаружены и на атомном уровне. В самой упрощенной модели строения атома принимается, что электроны движутся вокруг атомного ядра по определенным орбитам. На рис. 5 показан электрон, движущийся по круговой орбите вокруг неподвижного положительно заряженного атомного ядра. Движение этого электрона эквивалентно рамке с током (но с током, текущим в направлении, противоположном тому, в котором движется сам электрон). Следовательно, в данном случае возникает магнитное поле точно такой же конфигурации, как показано на рис.5.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. Земля обладает каким-то свойством, которое влияет на поведение стрелки компаса и заставляет ее поворачиваться в определенном направлении, т.е. свойством, которое влияет на ориентацию магнитной стрелки под действием магнитного поля. Это свойство – магнитное поле Земли.

Ось вращения

Север

S

N

Юг

Рис. 6.

Магнитное поле Земли напоминает магнитное поле полосового магнита, южный полюс которого находится вблизи северного географического полюса. Северный полюс N магнитной стрелки компаса притягивается к южному S полюсу Земли. Стрелка компаса укажет направление магнитного поля в любой точке Земной поверхности (рис.6). За направление магнитных силовых линии принято направление, которое указывает северный полюс магнитной стрелки компаса, т.е. силовые линии вне полосового магнита направлены от северного полюса к южному. Аналогичные измерения магнитного поля Земли свидетельствуют о том, что Земной шар обладает практически теми же магнитными свойствами, что и полосовой магнит.

Магнитное поле тока. Опыт показывает, что в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает магнитное силовое поле, подобно электрическому полю, окружающем электрические заряды.

До начала XIX в. считалось, что электричество и магнетизм – два независимых явления. Ориентация магнитной стрелки под действием поля, созданного проводником с током открыл в 1820 г. датский ученый Ханс Кристиан Эрстед (1777–1851).

Э лектрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в том поле электрические заряды. Магнетизм полосового магнита – полностью статическое явление. Какая же существует связь между электрическими токами и магнетизмом? Причина явления, открытого Эрстедом, состоит в том, что проводник с током создает магнитное поле, которое оказывает воздействие на стрелку компаса. Опыт показывает, что магнитные силовые линии имеют форму концентрических окружностей, лежащих в перпендикулярной к проводнику плоскости.

–

I

+

Рис. 3. Направления тока Рис. 4. Провода притягиваются, если токи

(от плюса к минусу) и магнитных текут по ним в одном направлении, или

силовых линии связаны с правилами отталкиваются, если токи направлены

правого винта. противоположно

На рис.3 направление магнитных силовых линий, создаваемых проводником с током, можно установить, исследую ориентацию магнитной стрелки компаса, расположенного вблизи проводника; это направление определяется правилом правой руки:

если проводник с током взять в правую руку так, чтобы большой палец руки указывал направление тока, то остальные пальцы руки, окружающие проводник, будут указывать направление магнитных силовых линий.

Если параллельно этому проводу расположить второй провод, по которому также протекает ток, то он окажется в магнитном поле первого и одновременно создаст свое магнитное поле. Провода притягиваются, если токи текут по ним в одном направлении, или отталкиваются, если токи направлены противоположно (Рис.4). Магнитная составляющая силы взаимного притяжения (или отталкивания) между двумя проводами равна:

,

где ₀=1,256·10^–6 В·с/А·м – магнитная постоянная, связанная с электрической постоянной ₀ отношением с²=1/₀₀.

Чисто кулоновская (электрическая) сила взаимодействия между двумя проводами составляет:

Таким образом, результирующая сила равна:

На рис.4 направление действующей на проводник силы определяется в соответствии с хорошо известным правилом левой руки:

Если силовые линии входят в ладонь левой руки, а вытянутые пальцы указывают на направление тока (от плюса к минусу), большой палец указывает направление действия силы. Эту силу называют силой Лоренца.

Основными характеристиками магнитного поля проводника с током являются:

• вектор магнитного поля (аналогично вектору напряженности Е электрического поля) – В.

n

Рис.5. Положительное направление нормали – правила правого винта.

Магнитное поле рамки с током. Характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника с током. Если проводник с током согнут в виде окружности (рамка с током), то ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали n к контуру (Рис.5).

Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. За направление магнитного поля в данной точке принимают направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке (Рис.5): конец нормали показывает северный полюс

Внутри рамки создается поле с магнитными силовыми линиями одинакового направления. Поскольку магнитные силовые линии здесь расходятся и создают поле, подобное рис.1, то для магнитного поля рамки можно определить северный и южный полюсы. Здесь применяется правило правой руки: если пальцы правой руки согнуты в дугу и показывают направление тока I в рамке, то большой палец указывает направление от южного полюса поля к северному.

N

S

n

I

Рис. 6. Картина силовых линий вокруг рамки с током.

В электрических приборах встречаются магниты одного типа, состоящие из проводника с током, накрученного на железный стержень – устройство называется электромагнитом.

Количественное описание магнитного поля осуществляется параметрами:

• Вращающий момент сил зависит от свойств поля в данной точке и от свойств рамки:

М = [р_m B]

где B – вектор магнитной индукции, является количественной характеристикой магнитного поля; р_m – вектор магнитного момента рамки с током.

• Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

• Магнитное поле микротоков описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции В связан с вектором напряженности Н:

В = ₀  Н,

где ₀ – магнитная постоянная,  – безразмерная величина – магнитная проницаемость среды, показывающая во сколько магнитное поле микротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Вектор напряженности Н магнитного поля аналогична вектору напряженности электрического поля Е.

ЗАКОН БИО–САВАРА–ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ. ЗАКОН АМПЕРА. Магнитное поле постоянных токов различной формы изучались французскими учеными Ж. Био (1774–1862) и Ф. Саваром (1791–1841). А результаты этих опытов были обобщены выдающимся французскими математиком и физиком П. Лапласом. Закон Био–Савара–Лапласа для проводника с током I, элемент которого создает в некоторой точке А (рис.8) индукцию поля dB, записывается в виде

(2)

где – вектор, по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током, – радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в точку А поля.

Направление dB перпендикулярно и и совпадает с касательной к линии магнитной индукции (можно также использовать правило правого винта).

Модуль вектора dB определяется выражением

(3)

где  – угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электростатического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукции складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

(4)

Расчетные формулы с применением закона Био–Савара–Лапласа:

• Закон Био–Савара–Лапласа для прямого тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины:

(5)

• Закон Био–Савара–Лапласа для магнитного поля в центре кругового проводника с током:

(6)

R

I I dB, B

dB

Рис. 8. Для объяснения закона Рис. 9. Магнитное поле в центре

Био–Савара–Лапласа кругового проводника с током.

ЗАКОН АМПЕРА ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТОКОВ. Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, действующий на рамку, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF c которой магнитное поле действует на элемент dl c находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индукцию В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия параллельных токов. Два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой:

(7)

где I₁, I₂ – силы токов в проводниках; R – расстояния между ними.

Если токи имеют противоположные направления, то между ними действует сила отталкивания, определяемая той же формулой (7).

МАГНИТНАЯ ПОСТОЯННАЯ. Если два параллельных проводника находятся в вакууме (=1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника равна:

(8)

Отсюда определим числовое значение ₀ при I₁ = I₂ = 1 А и R=1 м, dF/dl=2·10^–7 Н/м. Применив формулу (8), получим

₀ = 4·10^–7 Н/А² = 4·10^–7 Гн/м,

где Генри (Гн) – единица индуктивности. Единица магнитной индукции В – тесла (Тл); 1 Тл – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток в 1 А: 1 Тл = 1 Н/(А·м). Так как ₀ = 4·10^–7 Н/А², для вакуума =1 и В = ₀ ·Н, то для данного случая получим:

Н = В/₀ (9)

Единица напряженности магнитного поля – Ампер/матр (А/м):

1 ампер/метр – напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4·10^–7 Тл.

Э ФФЕКТ ХОЛЛА. Э. Холл (1855–1938) – американский физик. Эффект Холла (1879) – это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j. Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В, которое перпендикулярно j (Рис.10, см. рис.). При данном направлении j скорость носителей тока в металле – электронов направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Т.о. у верхнего края пластинки возникает повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего края – их недостаток (зарядится положительно). В результате между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е поля будет таким, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда:

d Е е = е  / а = е  В,

F Или  =  В а,

а v j где а – ширина пластинки,  –

поперечная (холловская) разность

потенциалов.

Рис.10.

B

Учитывая, что сила тока I = j S = n e  S

где S – площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, n – концентрация электронов,  – средняя скорость упорядоченного движения электронов; получим:

 = В а = ,

То есть холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. Здесь R 1/(е n) – постоянная Холла, зависящая от вещества.

По измеренному значению постоянной Холла можно определить:

• Определить концентрацию носителей тока в проводнике (если известный характер проводимости и заряд носителей);

• Судить о природе проводимости полупроводников, т.к. знак заряда e носителей тока.

Эффект Холла наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках. Он применяется также для умножения постоянных токов в аналоговых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчики Холла).

РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА И КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. На рис. 11 проводник не закреплен (одна – правая – сторона контура изготовлена в виде подвижной перемычки), в магнитном поле под действием силы Ампера он будет перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника длиной l с током I помещенный в магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура.

dx

I

B F l

I

Рис. 11.

Для определения этой работы используем формулу:

dA = F dx = I B l dx = I B dS = I dФ

где: F = I B l – закон Ампера; l dx = dS – площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; B dS = dФ– поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом:

dA = I dФ,

– работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Если в магнитном поле перемещается замкнутый контур с постоянным током, то формула для работы определится как:

A = I Ф,

Т.е. – работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Эта формула справедлива для контура любой формы.

Магнитное поле саленоида и тороида. Магнитное поле, созданное круговым витком, неоднородно (Рис. 6). Однако если вытянуть катушку в длинную спираль с винтовой намоткой (рис.7 а, Трофимова–рис.175, 176), то магнитное поле такого проводника будет однородным. Внутри такой катушки – соленоида – магнитные силовые линии представляют собой равномерно распределенные прямые линии. Внутри соленоида индукция магнитного поля равна

B = 4···n·I. (поле соленоида)

где n – число витков проводника на метр длины соленоида. Заметим, что индукция магнитного поля, создаваемого соленоидом, не зависит от размеров последнего, магнитное поле внутри соленоида будет однородным.

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида – кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющей форму тор. Как показывает опыт, магнитное поле сосредоточено внутри тороида, а вне его поле отсутствует. Магнитная индукция внутри тороида равна

B = ·_о·N·I /  (поле внутри тороида )

где N – число витков проводника тороида.

Магнитное поле движущегося заряда. Если вместо прямолинейного проводника с током мы рассмотри отдельные свободные электроны, летящие сквозь однородное магнитное поле, то увидим, что они неизменно отклоняются в сторону одинаковой по величине силой – силой Лоренца.

Чрезвычайно слабые проявления магнетизма обнаружены и на атомном уровне. Согласно предположению французского физика А. Ампера (1775–1836) в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи (микротоки) создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим соотношением:

В = ₀·· Н,

где: ₀ – магнитная постоянная,  – безразмерная величина – магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет микротоков среды.

Магнитные силовые линии не имеют ни начала, ни конца.

N

 е I

S

Рис. 8. Электрон, движущийся устойчиво вокруг атомного ядра, создает магнитное поле, эквивалентное полю витка с током. Отметим, что ток течет в направлении, противоположном скорости движения электрона, т.к. электрон несет отрицательный заряд.

Вектор магнитной индукции В является аналогом вектора напряженности электростатического поля Е. В самой упрощенной модели строения атома принимается, что электроны движутся вокруг атомного ядра по определенным орбитам (Рис.8). Орбитальные движения атомных электронов играют определенную роль в магнитных свойствах вещества – материала.

Особый интерес представляет движение в вакууме тонкого пучка электронов перпендикулярно длинному постоянному магниту. В этом случае электроны описывают круговую траекторию, плоскость которой перпендикулярна направлению магнитного поля.

Отметим, что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд, в этом существенное различие магнитного поля от электрического поля. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды.

Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскому физику Г. Роуланду (1848–1901). Затем работы продолжил профессоры Московского университета А.А. Эйхенвальд и А.Ф. Иоффе.

Количественное описание магнитного поля осуществляется параметрами:

• Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

dФ_B = B dS = B_n dS,

где B_n = B Cos  – проекция вектора B на направление нормали n к площадке dS;

 – угол между векторам n и B.

Поток вектора B может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака Cos , который зависит от выбора направления n нормали.

Полное значение потока магнитной индукции через произвольную поверхность определяется как

Единица магнитного потока – вебер (Вб); 1 Вб – магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб = 1 Тл·м²).

Теорема Гаусса для поля B: Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Рассчитаем поток вектора В через соленоид: магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью  равна

В = ₀ · · N·I / l

Магнитный поток через один виток соленоида площадью S равен

Ф = В·S,

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида называется потокосцеплением и равен

 = Ф·N = N·В·S = ₀· · (N²·I S / l)