Как видно из приведенной диаграммы, расстояние от q1 до точки с равен 5 м, а от q2 до точки с равен 8 м. Величины е1 и е2 находим из уравнений:

.

И з диаграммы находим, что вектор Е₁ составляет угол 26,6⁰ с осью х, а вектор Е₂ – угол 45⁰ с этой же осью. Тогда результирующая напряженность электрического поля в точке С равна геометрической сумме векторов Е_{1 и} Е₂.

В(0,3)

q₁

45⁰ 26,6⁰

С(2,1)

q₂

А(0,0)

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Эта теорема позволяет вычислять напряженности поля системы электрических зарядов. Выведена немецким ученым К. Гауссом (1777–1855) – теорема, определяющая поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (10) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, который находится в его центре и имеет формулу:

. (12)

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Если окружить сферу (рис.6) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Применив принцип суперпозиции, получим

. (13)

Формула (13) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ₀.

r

Рис.6. Замкнутая поверхность произвольной формы, охватывающий точечный заряд, r – радиус сферы.

Введем понятия плотности заряда: это количество заряда, расположенных в единице объема или площади, которые имеют следующие формулы:

объемная плотность

поверхностная плотность.

Отсюда суммарный заряд будет определяться как

тогда теорема Гаусса примет вид:

.

Также для поверхностной плотности получим

.

Электрический потенциал. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поля. Потенциальная энергия заряда q находящего на расстоянии r от заряда-источника Q, равна

(7)

Разделив обе части этого соотношения на q, получим величину, которая характеризует заряд-источник Q. Эта величина называется электрическим потенциалом :

. (8)

Величина  равна потенциальной энергии заряда q, деленной на его величину. Электрический потенциал в некоторой точке равен работе, которую необходимо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечно удаленной точки в данную точку. Итак, потенциал есть работа на единицу заряда, является скалярной величиной. По принципу суперпозиции:

_рез = ₁+ ₂ + ₃ + ₄ + … (14)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

также в виде

. (15)

Приравниваем уравнения (14) и (15), проинтегрируем вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2, получим

 = А_/Q₀ (16)

Q₀ – перемещаемый заряд.

Потенциал – это энергетическая характеристика поля, а напряженность – силовая характеристика поля.

Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поля. Работа, отнесенная к единице заряда, которая требуется для такого перемещения, равна разности потенциалов  между этими точками:

U = . (15)

Разность потенциалов называется напряжением U между точками.

Работа по перемещению единичного точечного «+»-го заряда из одной точки в другую вдоль оси х, равна Е_хdх и d=₁–₂. Отсюда

,

где частная производная показывает, что дифференцирование производится по только по оси х. Тогда для силовой характеристики электрополя производные аналогично для осей у и z будут иметь вид:

. (16)

где выражение называется оператором Гамильтона или набла-оператором.  означает символический вектор. Например, консервативная сила – вес тела (не зависящая от траектории, а зависящая от начального и конечного положения заряда) определится как

. (17)

Тогда для силовой характеристики электрополя можно записать выражение градиента:

. (18)

Знак «–» показывает, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.

Градиент – если какая-то величина в каждой точке пространства имеет вполне определенное значение, то говорят, что данная величина распределена в пространстве (например температура, давление, плотность, потенциал); для описания характера распределения этой величины вводят вектор, который определяет направление и быстроту изменения данной величины с расстоянием; градиент показывает изменение данной величины на единицу длины в направлении наибольшего возрастания. Например, градиент потенциала 500 вольт/метр – т.е. показывает быстроту изменения потенциала с расстоянием.

Эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых потенциал  имеет одно и то значение. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности – концентрические сферы. А линии напряженности будут перпендикулярно расположены эквипотенциальным поверхностям.

Диэлектрики в электрическом поле. Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Строение проводников и диэлектриков различное: в диэлектрике нет свободных электронов и ядра (+ ионы) очень сильно связаны с электронами (рис.5, а).

В молекуле диэлектрика суммарный положительный заряд всех ядер равен суммарному заряду электронов, поэтому молекула в целом электрически нейтральна. Обозначим суммарный заряд ядер молекул (ионы) + Q, который находится в центре «тяжести» всех положительных зарядов, а суммарный заряд всех электронов – «-Q», который находится в центре «тяжести» всех отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрически диполь с электрическим моментом р.

Если поместить диэлектрик в электрополе, то он поляризуется.

Поляризацией называют процесс ориентации диполей или появления под воздействием элетрополя ориентированных по полю диполей.

Это – смещение разноименных зарядов в атомах и молекулах относительно друг друга, при этом связь между зарядами не нарушается. (рис.7, б и в)

+Q – Q

(а) (б) (в)

Рис.7. Смещение ионов в диэлектрике под действием электрополя.

Такая электрическая система называется диполем. Если поместить такой диэлектрик в электрополе с напряженностью Е₀, то в нем появляются диполи и наблюдается процесс поляризации. Поляризация вызывает внутри диэлектрика электрополе Е_п, которое направлено противоположно Е₀, что уменьшает силу внешнего поля Е₀.

Е₀

– +

– Е_п +

– +

– +

– +

Рис.6. Диэлектрик, помещенный в электрическое поле. Е₀ – напряженность внешнего поля, Е_п – напряженность внутри диэлектрика.

Величина, характеризующая электрические свойства, называют диэлектрической проницаемостью:

. (19)

Существуют два вида диэлектриков:

• полярный (полюсный) – молекулы, в которых центры «+» и «-» зарядов не совпадают;

• неполярный (неполюсный) – молекулы, в которых центры «+» и «-» зарядов совпадают

Эти виды различают по молекулярным строениям, т.е. по типам диэлектриков.

Типы диэлектриков:

• 1-я группа (N₂, H₂, O₂, CO₂, CH₄, …) – это вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т.е. «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и дипольный момент равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными.

• 2-я группа (H₂O, NH₃, SO₂, CO, …) – вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т.е. центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Молекулы таких диэлектриков называются полярными.

• 3-я группа (NaCl, KCl, KBr,…) – вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух двинутых одна на другую ионных подрешеток. Если наложить на ионный кристалл электрическое поле, произойдет некоторая деформация кристаллической решетки или смещение подрешеток.

Внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле, как мы знаем, приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика, т.е. к возникновению поляризации диэлектрика. Т.е., все три вида диэлектрика в электрическом поле поляризуются. Соответственно, этим трем группам диэлектриков можно отнести три вида поляризации:

• электронная, или деформированная поляризация возникает с полярными молекулами – возникновение у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;

• ориентационная, или дипольная поляризация возникает с полярными молекулами – ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, а совмещение этих двух процессов – тепловое движение и электрополе – увеличивает эффект ориентации дипольных моментов молекул по полю. Причем эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрополя и ниже температура.

• Ионная поляризация возникает с ионными кристаллическими решетками – смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных – против поля.

Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике. При помещении диэлектрика в электрополе он поляризуется, т.е. приобретает дипольный момент р_v. Для количественного описания поляризации диэлектрика введено понятие поляризованности – дипольный момент единицы объема диэлектрика:

. (20)

Опыт показывает, что для многих диэлектриков (кроме сегнетоэлектриков) поляризованность линейно зависит от напряженности поля Е₀:

(21)

где  – диэлектрическая восприимчивость вещества. Эта величина характеризует свойства диэлектрика, безразмерная, всегда положительная и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц: для спирта – 25, для воды – 80. Тогда диэлектрическая восприимчивость связана с диэлектрической проницаемостью формулой

. (22)

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике. Электрическое смещение. Как было сказано выше, напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна . вектор напряженности Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения, который для электрически изотропной среды по определению равен:

(23)

Используя формулы (21) и (22), вектор электрического смещения можно выразить как

(24)

Единица электрического смещения – кулон/метр² (Кл/м²).

Связанные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т.е. в диэлектрике на электростатическом поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряженности Е, поэтому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Однако, связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вызвать перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Как и поле Е, поле D изображается с помощью линии электрического смещения, направление и густота этих линий определяется точно так же, как и для линий напряженности.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора D – только на свободных зарядах. Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверхность

(25)

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

(26)

т.е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри поверхности свободных электрических зарядов.

Выражение (26) справедливо и для однородной и изотропной среды, и для неоднородной и анизотропной среды. Для вакуума , тогда поток вектор вектора напряженности Е сквозь замкнутую поверхность равен

. (27)

Т.к. источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса для поля Е в самом общем виде можно записать как

(28)

где: – алгебраическая сумма свободных зарядов; – алгебраическая сумма связанных зарядов.

Сегнетоэлектрики – диэлектрики, обладающие в определенном интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т.е. поляризованностью в отсутствие внешнего электростатического поля. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль NaKC₄H₄O₆4H₂O (отсюда и название – сегнетоэлектрики) титанат бария – BaTiO₃.

При отсутствии внешнего электрического поля сегнетоэлектрик представляет собой как бы мозаику из доменов – областей с различными направлениями поляризованности (Рис.7).

+

Рис.7