3.4.4. Задачи для самостоятельного решения

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1. 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями.

3. 4. 5. .

Найти длину линии.

6.		7.
8.	9.		10.

3.5 Криволинейные интегралы

3.5.1. Пусть сила перемещает материальную точку М из начала дуги – точки А, в конец – точку В (рис. 3.5.1).

Задача о вычислении работы силы F (совершаемой вдоль линии L ) приводит к рассмотрению, так называемого, криволинейного интеграла по координатам .

Рис. 3.5.1

Он строится по схеме, приведенной выше, как предел интегральной суммы скалярных произведений вектора силы с вектором "элементарного" (малого) перемещения .

3.5.2. Пусть дуга АВ расположена в области D, где P и Q – непрерывные функции. Если линия L имеет параметрические уравнения

,

причем положение точки А соответствует значению , положение B – , то

. (3.5.1)

Если же уравнение линии L – , причем и – абсциссы соответственно точек А и В, то

. (3.5.2)

3.5.3. Смысл формул (3.5.1), (3.5.2) состоит в том, что выражение для х и у из уравнений линии подставляем в подынтегральное выражение (при этом вычисляем дифференциалы и ), после чего производим интегрирование в границах изменения параметра.

Пример 1. Вычислить

вдоль дуги АВ астроиды

,

если точке А соответствует значение параметра , точке В – .

Рис. 3.5.2

Решение. Линия, вдоль которой производится интегрирование, изображена на рис. 3.5.2; в нашем случае имеем дугу, расположенную в первой четверти (направление обхода от А к В указано стрелкой). Заметим, что ;

.

Значит

Рис. 3.5.3

Пример 2. Вычислить работу силы по перемещению материальной точки вдоль контура из начального положения 0 с абсциссой в положение В с абсциссой (рис. 3.5.3). Решение. Имеем координаты вектора : .

Согласно 3.5.1 достаточно вычислить

.

Подынтегральное выражение в случае есть

.

Следовательно, при х, изменяющемся от до , имеем

.

3.5.4. Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить работу силы по перемещению материальной точки вдоль контура L. Координаты , уравнение линии L, а также значения x₁, x₂ абсцисс (или значения t₁, t₂ параметра t), соответствующих начальному и конечному положению точки, указаны.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.