3.4 Приложения определенных интегралов

Перечислим основные геометрические приложения определенных интегралов.

3.4.1. Площадь фигуры.

а) Если плоская фигура D ограничена линиями , где g и f – непрерывны на и при , то ее площадь (см. рис. 3.4.1)

.

В частности, при имеем площадь криволинейной трапеции (рис. 3.4.2)

Рис. 3.4.1

Рис. 3.4.2

б) Если задана параметрически, т.е. в виде:

,

причем х пробегает отрезок при (то есть , , ), то площадь криволинейной трапеции, указанной на рис. 3.4.2, находится по формуле

.

Рис. 3.4.3

в) Площадь сектора, определяемого в полярных координатах соотношениями , где – непрерывна на , см. рис. 3.4.3, вычисляется по формуле .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

, .

y 4 2 x 2 0 Решение. Изобразим линию; для этого в системе координат х0у следует построить точки , которые определяются произвольно выбранными значениями t из промежутка ; см. рис. 1.4.4. Согласно п. б), 3.4.1 имеем:

Рис. 3.4.4

;

использована формула понижения степени, см. 3.1.8.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой (заданной в полярной системе координат) .

Решение. Изобразим линию. В силу 2-периодичности функции линия замкнута и достаточно построить точки , определяемые значениями из промежутка . Кроме того, линия симмет-

рична относительно полярной оси (поскольку значения косинусов одинаковы для точек единичной окружности, симметричных относительно оси абсцисс). Поэтому достаточно вычислить площадь, соответствующую значениям (площадь верхней части фигуры) и затем ее удвоить; линия изображена на рис. 3.4.5.

Рис. 3.4.5

.

3.4.2. Длина дуги линии

а) Если линия L задана в декартовой системе координат уравнением , то длина ее дуги, соответствующей значениям (см. рис. 3.4.2) вычисляется по формуле

.

б) Дуга заданной параметрически линии

в случае имеет длину

(предполагается монотонность на отрезке ).

в) Частным случаем п.б) является задание линии в полярной системе координат уравнением . В этом случае

.

Длина дуги, соответствующей , определяется по формуле

.

Пример 1. Найти длину дуги линии.

.

Решение. График функции изображен на рис. 3.4.6. Заметим, что . Следовательно, согласно 3.4.2 а), имеем

Рис. 3.4.6

.

Пример 2. Найти длину дуги линии.

.

Решение. Линия замкнута, так как - –периодические функции. В результате построения по точкам получаем кардиоиду (рис. 3.4.5); достаточно найти длину ее половины, соответствующей изменению t от 0 до , при этом используем формулу 3.4.2 б). Имеем:

;

.

Далее,

.

Поэтому

.

Следовательно, .

Рис. 3.4.8

3.4.3. Объем тела вращения. Тело, образованное вращением вокруг 0x криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, прямыми и графиком ( при ), имеет объем (рис. 3.4.8) .

Пример. Найти объем тела, образованного вращением криволинейного треугольника вокруг оси 0x, если треугольник ограничен осью 0x, прямой и графиком .

Решение. Имеем

.