3.3. Несобственные интегралы
3.3.1.
Интегралы с бесконечными пределами
интегрирования
определяются следующим образом (
полагаем непрерывной на соответствующих
интервалах):
а)
;
б)
;
в)
(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).
Если в случаях а), б) указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся. В случае же в) исходный интеграл считается расходящимся, если таковым является хотя бы один из интегралов в правой части равенства.
3.3.2.
Интегралы
от функций с разрывами
второго рода
определяются следующим образом (в п. а)
и б) параметр
):
а) имеет разрыв на левом конце отрезка; тогда
;
б) имеет разрыв на правом конце отрезка; тогда
;
в)
имеет разрыв в точке
:
(относительно последних двух интегралов см. п. а), б)).
В случаях, если соответствующий предел не существует или бесконечен (см. п. а), б)) интеграл называется расходящимся; расходимость в случае п. в) определяется аналогично 3.3.1, в).
Замену переменных под знаком несобственного интеграла можно осуществить по той же схеме, что и под знаком определенного интеграла.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение. Выделим полный квадрат
;
положим
затем
,
тогда
.
При этом новые пределы интегрирования,
определяемые по старым
формулой
будут такими:
.
Имеем
.
Получив интеграл табличного типа, воспользуемся определением 3.3.1, б) интеграла с бесконечным нижним пределом
.
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение.
Заметив,
что
,
воспользуемся определением 3.3.1,
а) несобственного интеграла с бесконечным
верхним пределом
,
т.е. интеграл является расходящимся.
Замечание. Приведенные примеры показывают, что формула Ньютона-Лейбница (3.2.1) распространяется на несобственные интегралы в виде
;
в простейших случаях (если в результате не получается неопределенности), можно пользоваться непосредственно последними соотношениями.
Например,
.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение.
Функция
непрерывна на интервале
и имеет разрыв (2-го рода) в концевой
точке
.
Удобно (прежде чем пользоваться
определением 3.3.2)
сделать замену переменных
;
при этом пределы интегрирования
определяются следующим образом:
.
Далее,
,
,
откуда
.
Следовательно,
.
Теперь
имеет разрыв на левом конце отрезка
интегрирования
,
т.е. в точке
.
Согласно определению п. а), 3.3.2
,
т.е. интеграл оказывается расходящимся.
Пример 4. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение.
Функция
имеет разрыв на правом конце промежутка
интегрирования. Согласно п. б), 1.3.2 имеем:
.
3.3.3 Задачи для самостоятельного решения. Найти несобственные интегралы или установить их расходимость
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
|
|
.