3.2 Определенный интеграл
3.2.1
К
понятию
определенного
интеграла
приводит следующая задача о нахождении
площади криволинейной трапеции. Пусть
такая трапеция ограничена отрезком
оси абсцисс, прямыми
и графиком
непрерывной на
функции
;
для определенности считаем
на
.
Выделим отрезок
малой длины
.
Площадь соответствующей "полоски"
может быть приближенно вычислена как
площадь прямоугольника со сторонами
длины
и
,
где точка
– произвольна:
.
Разобьем всю криволинейную трапецию
на такие полоски, пронумеруем их (пусть
их число равно n)
и вычислим приближенно искомую площадь
как сумму площадей полосок
.
(3.2.1)
Устремляя к нулю
каждую из длин
,
будем получать все более точное
приближение к площади S.
В качестве
точного ее значения естественно принять
предел
(при стремлении к нулю всех
)
последовательности сумм
(3.2.1).
Можно доказать, что при сформулированных
условиях указанный предел существует
и является одним и тем же числом для
всевозможных разбиений трапеции на
полоски и выбора "промежуточных"
точек
.
Сконструированный
предел "интегральных" сумм вида
(3.2.1)
называется определенным интегралом
функции
по отрезку
и обозначается
.
Можно доказать, что функция вида
(она называется
интегралом с переменным верхним
пределом), является одной из первообразных
для
:
;
ее приращение
есть площадь S
криволинейной трапеции. Таким образом,
приходим к следующей формуле
Ньютона-Лейбница
(3.2.2)
Площадь S криволинейной трапеции вычисляется теперь по формуле (3.2.2).
3.2.2.
Как и для неопределенного интеграла,
здесь сохраняется свойство
линейности.
Кроме того, для любых чисел
:
1)
;
2)
;
3)
.
3.2.3. Формула интегрирования по частям
.
3.2.4.
Если
монотонна на
,
например, возрастает от
к
при
,
то формула
замены переменных имеет
вид
(знак "минус"
в правой части – в случае убывания
).
Заменяя переменную под знаком определенного интеграла, следует переходить к новым пределам интегрирования, и, найдя первообразную, к старой переменной не возвращаться.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Решение.
Сделаем замену переменных
,
откуда
.
Новые пределы интегрирования
и
определяются через
старые
пределы
и
по той же формуле
:
;
.
Итак,
.
Имеем интеграл неправильной рациональной дроби (см. 3.1.6). Выполняя деление "углом", получаем
.
Поэтому
.
Пример 3.
.
Решение.
Положим
.
При
получим
,
или
;
следовательно, t
изменяется от
до
.
В этом случае
.
Итак,
.
Пример 4.
.
Решение. Согласно 3.1.5 следует интегрировать по частям:
;
.
В силу 3.2.3 имеем
.
3.2.5. Задачи для самостоятельного решения. Найти определенные интегралы.
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
|
|
.