3. Интегральное исчисление функций одной переменной

3.1. Неопределенный интеграл

3.1.1 Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Если на некотором интервале , то функция (по отношению к ) называется первообразной.

Так, например, для первообразными являются: , , ..., и вообще, любая функция вида , где С – произвольная постоянная.

В общем случае, совокупность всех первообразных для , , имеет вид: , где – некоторая (фиксированная) первообразная, С – произвольная постоянная. Такая совокупность называется неопределенным интегралом для . Обозначение:

.

Следующие таблица и свойства интегралов могут быть проверены (доказаны) путем дифференцирования правых частей и получением тем самым подынтегральных функций в левой части.

3.1.2. Таблица интегралов

1)			6)
2)			7)
3)			8)
4)			9)
5)			10)
11)				16)
12)				17)
13)				18)
14)				19)
15)

3.1.3 Линейность интеграла

3.1.4 Приемы интегрирования.

а) Использование таблицы, линейности и почленного деления. Например,

.

Использованы табличные интегралы: 2), 1), 3).

б) Замена переменных по формуле

.

Указанная замена эффективна, если в произведении с имеется множитель, являющийся (с точностью до постоянного коэффициента) производной выражения ("блока"), от которого зависит оставшийся множитель. Этот блок и обозначаем новой буквой. Вычислив интеграл, возвращаемся к старой переменной.

Пример 1. .

Решение. Заметим, что множитель х есть "почти производная" от блока

.

Следовательно, полагаем и устанавливаем связь дифференциалов:

.

Числитель подынтегрального выражения будет равен , если его домножить на 2 (одновременно умножим интеграл на 1/2):

.

Использован результат 3), табл. 3.1.2. Любопытно проверить ответ:

,

т.е. действительно получили подынтегральную функцию.

Пример 2. .

Решение. Поскольку есть (с точностью до коэффициента 1/2) производная от , то обозначим , тогда . Поэтому (см. 5) в табл. 3.1.2)

.

Те же рассуждения можно привести без явного введения новой переменной, так как , то, согласно 5), табл. 3.1.2 имеем

.

Последний прием называется введением под знак дифференциала.

в) В случае интеграла "табличной" функции аргумента или табличный результат следует делить на коэффициент (можно, конечно, применять также замену или соответственно).

Примеры.

1) ;

2) ;

3) .

(см. интегралы 6), 10), 3) в табл. 3.1.2).

г) Выделение полного квадрата в случае квадратного трехчлена в знаменателе дроби. Здесь следует пользоваться формулой

и заменой переменных , откуда , .

Пример 1. .

Решение. Используем формулу г), в которой . Имеем

.

Положим далее , откуда . Имеем (см. интеграл 13 в табл. 3.1.2)

.

Пример 2. .

Решение. Выделяем полный квадрат :

.

Следовательно,

.

Положим , тогда . Поэтому, сделав подстановку в интеграле, получим

.

Вычисляем . Заметим, что , значит

.

Использован интеграл 2), табл. 1.1.2. Интеграл - табличный (см.12 в табл. 1.1.2). Итак,

.