1.5 Симплексный метод решения задачи линейного программирования
Пусть имеется ЗЛП, записанная в стандартной форме:
max
,
(1)
(2)
Обозначим через
и
векторы-столбцы:
,
и через
- вектор-строку
.
Тогда условия (1) и (2) можно записать в виде
max
,
или max
,
Прежде чем приступить к обоснованию
симплексного метода, множество всех
векторов
,
удовлетворяющих условию
,
обозначим через
и
введем несколько определений:
Определение 1. Линейная функция, определенная на выпуклом многограннике К, достигает своего оптимального значения в крайней точке этого многогранника.
Определение 2. Допустимая точка называется базисной или опорной (опорным планом), если она соответствует крайней точке многогранника решений;
Определение 3. Допустимая точка
называется вырожденной, если менее чем
значений
отличны от нуля (
- число ограничений в задаче);
Определение 4. Если X
– крайняя точка многогранника К, то не
более
её координат
отличны от нуля, и векторы
,
коэффициенты
при которых отличны от нуля, линейно
независимы.
Пусть
- крайняя точка многогранника решений
,
определяемого равенством
,
причем
координат
точки
отличны от нуля, т.е.
- невырожденный опорный план задачи.
Согласно определению 4, векторы
линейно независимы и образуют базис
-мерного
пространства. Функция цели
в точке
принимает значение
и равенство
объединяется в равенство
(3)
Найдём опорный план
,
которому соответствует значение
функции цели
.
Поскольку векторы
образуют базис, то любой вектор
может быть представлен в виде линейной
комбинации этих векторов
.
Выберем вектор
и, умножив его на число
,
прибавим к левой части равенства (3), а
затем вычтем из неё
,
в результате получим
(4)
Так как
,
то получим
.
Таким образом, если выбрать точку с координатами
то она будет удовлетворять условию
и, если при этом все координаты точки
будут неотрицательны, т.е.
(5) , то
будет допустимой точкой задачи. Условие
(5) выполняется, если выбрать
, (6)
где берётся min только
положительных отношений
и
.
В случае, когда все
,
величину
можно выбрать как угодно большой. Это
свидетельствует о неограниченности
многогранника решений. Пусть выбрано
,
удовлетворяющее условию (6); тогда имеем
в предположении, что
:
.
Координаты второй точки будут:
При выборе
в соответствии с (6) обращается в нуль
лишь одна координата
,
поэтому новое решение
,
как и старое
,
содержит
положительных координат. Таким образом
точка
является опорным планом задачи и переход
от плана
к плану
соответствует переходу от одной крайней
точки многогранника решений к другой.
Выясним, как следует выбирать вектор
,
чтобы при переходе от одной крайней
точки к другой линейная функция
по крайней мере не убывала.
Т
очке
соответствует значение функции цели
,
равное
Преобразовав это выражение для
,
получим
,
где
.
Очевидно
,
если
.