Декартів добуток

Множини, які містять однакові елементи, є еквівалентними (рівними), причому порядок запису їх лементів є несуттєвим. Проте бувають випадки, коли порядок запису має принципове значення (запис координат точок на площині) і у зв’язку з цим вводиться поняття кортежу, впорядкованої сукупності (набору). Елементи кортежу, або їх ще називають компонентами, нумерують, а кількість їх називають довжиною або розмірністю кортежу.

Означення Декартовим простим добутком множин А та В називають множину впорядкованих пар (двокомпонентних кортежів) (а,b), тобто

А×В={(a,b)| aєА ^ bєB}.

У загальному випадку:

, а також

Розглянемо декілька множин . Тоді

Множину називають декартовим квадратом множини А, множину -- декартовим кубом і т.д.

Наведемо основні властивості декартового добутку множин

1) ;

2) ;

3) A × (B U C) = (A × B) U (A × C);

4) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);

5) (A × B) U (C × D) (A U C) × (B U D);

6) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D);

7) A × B C × D ↔ (A C) ^ (B D).

2.3 Нечіткі множини

Означення. Нечіткі множини – це такі множини, коли неможливо наперед встановити, чи належать елементи з універсальної множини U до цих множин. Кожний елемент універсуму U входить до нечіткої множини S зі своїм ступенем належності (дійсне число з відрізка [0; 1]).

Нечітку множину S задають її елементами разом зі ступенями належності (елементи зі ступенем належності нуль не записуються), тобто S = {(a; P_S(a)); (b; P_S(b)); …; (u; P_S(u))}, де a, b, …, u є U, а P_S(a), P_S(b), …, P_S(u) – ступені належності елементів a, b, …, u до S відповідно.

Універсальну множину U, як нечітку, можна подати у вигляді {(u; 1)| u є U}.

Наведемо основні операції над нечіткими множинами.

1. S – доповнення до нечіткої множини S. Якщо P_S(a) – ступінь належності елемента a до множини S, то 1 – P_S(a) – ступінь належності цього елемента до множини S;

2. Якщо S i T – дві нечіткі множини, то S U T – їх об’єднання зі ступенем належності P_{S U T} (a) = max {P_S(a); P_T(a)};

3. Переріз двох нечітких множин S i T – це множина S ∩ T, причому P_{S ∩ T}(a) = max {P_S(a); P_T(a)};

Означення. Множиною рівня α (α < 0) Sα нечіткої множини S називається множина елементів множини S, ступінь належності яких до S є меншим від α.

Означення. Елемент u є U зі ступенем належності P_S(u)=0.5 до множини S називається точкою переходу нечіткої множини S.

2.4 Комп’ютерне зображення множин

Подання множин у комп’ютері здійснюється різними способами. Один із них полягає в зберіганні невпорядкованих елементів множини. Але даний спосіб є незручним та неефективним, оскільки, виконуючи операції над множинами, які займають багато часу, необхідно весь час здійснювати перегляд елементів.

Розглянемо універсальну множину в якій довільним способом є впорядкованими її елементи. Тоді множину в комп`ютері можна зобразити за допомогою n- компонентного кортежу елементи якого дорівнюють 0 або 1. Якщо то інший елемент дорівнює 1, а якщо то – 0.

Для виконання операцій над множинами в системі програмування використовують комбіновані типи – масиви, рядки, записи, множини.