Лекція 2. Елементи теорії множин.

2.1 Основні поняття

Множина – це довільна сукупність об’єктів певної природи.

Основи теорії множин були закладені в 70-х роках ХІХ століття німецьким математиком Георгом Кантором, який під множиною розумів «об’єднання в одне спільне об’єктів, які добре розрізняються нашою інтуїцією або нашою думкою».

Визначають довільну множину словесним описом, або переліком її елементів.

Позначають множини переважно великими латинськими буквами А, В, С… Для множин, які часто використовуються, застосовують спеціальні позначення

Ø – порожня множина(не містить жодного елемента);

Z – множина цілих чисел;

N – множина натуральних чисел;

Q - множина раціональних чисел;

I - множина ірраціональних чисел;

R - множина дійсних чисел;

C - множина комплексних чисел.

Дві множини А = В називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих ж елементів (записують А =В).

Множину А називають підмножиною множини В, якщо кожний елемент множини А належить множині В ( записують А В), причому може бути, що А = В. Якщо А = В, то чи А = Ø, то А називають невласною підмножиною множини В, в протилежному випадку – власною. Для будь-якої множини А є справедливе включення Ø А. Множини бувають Скінченними та нескінченними. Скінченні множини характеризуються кількість їх елементів, яка називається потужністю (|А| - потужність множини А). Як правило, скінченні множини задають переліком їх елементів. Але у загальному випадку довільні множини задають, вказавши характеристичну властивість її елементів. Запис А = {х|P(х)} означає множину, яка складається лише з тих елементів х, які характеризуються властивість Р (висловлення Р є істинним).

Зауважимо, що порядок запису елементів множини не має значення, тому {1;8;4;12}={1;4;8;12} .

Часто буває, що всі досліджувані множини є підмножинами якоїсь множини, яку називають універсальною множиною або універсамом і позначають U .

Англійський математик Дж.Венн (J. Venn) у 1881р. запропонував множини зображати графічно (за допомогою так званих діаграм Венна). У цьому випадку універсальну множину позначають прямокутником, а всі інші множини – кругами в ньому.

Кортеж – це впорядкований набір елементів. Елементи кортежу називають його компонентами, які нумерують, а їх кількість називають довжиною (розмірністю) кортежу.

Два кортежі називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину та відповідні їх компоненти є рівними.

2.2 Операції над множинами

Розглядатимемо множини із якогось універсаму U. За допомогою теоретико -множинних операцій можна побудувати нові множини.

Об’єднанням AvB двох множин А та В називається множина, яка складається з усіх елементів, які належать хоча б до однієї з них (рис.1)

AvB={x є U | (x є A) v x є В}.

U

Перетином А ^ B двох множин А та В називаэться множина, яка складається з усіх елементів, які належать до них одночасно (рис.2)

A ^ B = {x є U | (x є A) ^ (x є B)}

Різницею А\В двох множин А та В називається множина, яка складається з тих елементів множин А, які не належать до множин В (рис.3)

A\B = {x є U| (x є A) ^ (x є B)}

Симетричною різницею А ∆ В двох множин А та В називається множина, яка складається з усіх елементів, які належать хоча б до однієї з них та не належить до них одночасно (рис.4)

A ∆ B = (A v B) \ (A ^ B)

Доповненням множини А до множини U називається множина, яка складається з усіх елементів універсуму U крім тих, які належать множині А (рис. 5).

U

Наведені операції вводять для довільної (скінченної чи нескінченної) кількості множин. Вирази, що містять операції чи для певної сукупності множин, записують скорочено у вигляді:

; ;

; .

Властивості теоретико-множинних операцій зобразимо в таблиці.

Таблиця 7

Назва властивості	Формула властивості
1. Комутативність	А) Б)
2. Асоціативність	А) Б)
3. Дистрибутивність	А) Б)
4. Ідемпотентність	А) Б)
5. Закони де Моргана	А) Б)
6. Властивості поглинання	А) Б)

7. Властивості тотожності

1. 

b.

7. Властивості домінування

1. 

2. 

На основі наведених властивостей теоретико-множинних операцій перерізу та доповнення легко доводяться такі властивості:

для різниці множин:

1. , , ;

2. ;

3. ;

доповнення множини:

1. , ;

2. , ;

3. 

4. 

5. 

та симетричні різниці множин:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. 

Якщо проаналізувати наведені властивості операцій та для множин, то довільна рівність щодо них залишиться правильною, якщо замінити на , а на і множини на та на . У цьому полягає принцип двоїстості. Він стає зрозумілим і очевидним, якщо перевіряти наведені такі властивості:

Для будь-яких скінченних двох множин A та B є справедливою така рівність:

,

яка є частковим випадком принципу включення-виключення.

Систему підмножин множини А, називають розбиттям множини А, якщо 1) ;

2) , ;

3)

або розбиття множини А – це система S непорожніх її підмножин , коли довільний елемент належить обов’язково одній із множин .

Теорема: Дві множини та є рівними, тоді і тільки тоді, коли та .

Підмножина та буліан

Означення. Множина називається підмножиною множини , якщо кожний елемент, що міститься в множині також належить і до множини , тобто (рис.6)

Рис.6

Для підмножин використовують ще і таке позначення: . Це означає, що підмножина може співпадати зі самою множиною . Якщо , то говорять, що є власною підмножиною множини .

Для власних підмножин виконуються такі властивості:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Множину всіх підмножин множини називають буліаном (на честь англійського математика, творця математичної логіки Дж. Буля) і позначають:

Твердження 1. Потужність буліана дорівнює , тобто , де потужність множини .

Tвердження 2. Множина А потужність якої дорівнює n, містить підмножин, потужність яких дорівнює m.

Наведемо алгоритм побудови буліана В(А) на прикладі множини A={a,b,c} (рис. 7)