140 Законы распределения случайных величин [гл. 7

Эту характеристику мы будем в дальнейшем называть стати­стическим средним случайной величины.

Согласно закону больших чисел, при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается (сходится по ве­роятности) к математическому ожиданию. При достаточно большом п статистическое среднее может быть принято приближенно равным математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов стати­стическое среднее является случайной величиной, которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем известное представление.

Подобные статистические аналогии существуют для всех число­вых характеристик. Условимся в дальнейшем эти статистические аналогии обозначать теми же буквами, что и соответствующие чис­ловые характеристики, но снабжать их значком *.

Рассмотрим, например, дисперсию случайной величины. Она пред­ставляет собой математическое ожидание случайной величины

Если в этом выражении заменить математическое ожидание его статистической аналогией — средним арифметическим, мы получим статистическую дисперсию случайной величины X:

где пС_х = М* [Х\ — статистическое среднее.

Аналогично определяются статистические начальные и централь­ные моменты любых, порядков:

Все эти определения полностью аналогичны данным в главе 5 определениям числовых характеристик случайной величины, с той разницей, что в них везде вместо математического ожидания фигу­рирует среднее арифметическое. При увеличении числа наблюдений, очевидно, все статистические характеристики будут сходиться по вероятности к соответствующим математическим характеристикам и при достаточном п могут быть приняты приближенно равными им.

7.41

ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

141

Нетрудно доказать, что для статистических начальных и цен­тральных моментов справедливы те же свойства, которые были выве­дены в главе 5 для математических моментов. В частности, стати­стический первый центральный момент всегда равен нулю:

и т. д.

При очень большом количестве опытов вычисление характеристик по формулам (7.4.1) — (7.4.5) становится чрезмерно громоздким, и можно применить следующий прием: воспользоваться теми же разрядами, на которые был расклассифицирован статистический материал для построения статистического ряда или гистограммы, и считать приближенно значение случайной величины в каждом разряде постоянным и равным среднему значению, которое выступает в роли «представителя» разряда. Тогда статистические числовые характе­ристики будут выражаться приближенными формулами:

142 ," Законы распределения случайных величин [гл. 7

величины X, с той только разницей, что вместо вероятностей p_t в них стоят частоты р*, вместо математического ожидания т_х — ста­тистическое среднее т*, вместо числа возможных значений случайной величины — число разрядов.

В большинстве руководств по теории вероятностей и математической статистике при рассмотрении вопроса о статистических аналогиях для харак­теристик случайных величин применяется терминология, несколько отличная от принятой в настоящей книге, а именно, статистическое среднее именуется «выборочным средним», статистическая дисперсия—«выборочной дисперсией» и т. д. Происхождение этих терминов следующее. В статистике, особенно сельскохозяйственной и биологической, часто приходится исследовать распре­деление того или иного признака для весьма большой совокупности индиви­дуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес того же зерна, длина или вес тела какого-либо из группы животных и т. д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того, чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или о ее важнейших характери­стиках, нет необходимости обследовать каждый индивидуум дайной обширной совокупности; можно обследовать некоторую выборку достаточно боль­шого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения. Та обширная совокупность, из которой произво­дится выборка, носит в статистике название генеральной совокупности. При этом предполагается, что число членов (индивидуумов) N в генеральной совокупности весьма велико, а число членов п в выборке ограничено. При достаточно большом N оказывается, что свойства выборочных (статисти­ческих) распределений и характеристик практически не зависят от N; отсюда естественно вытекает математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная совокупность, из которой осуществляется выбор, имеет беско­нечный объем. При этом отличают точные характеристики (закон распределе­ния, математическое ожидание, дисперсию и т. д.), относящиеся к генераль­ной совокупности, от аналогичных им «выборочных» характеристик. Выбо­рочные характеристики отличаются от соответствующих характеристик генеральной совокупности за счет ограниченности объема выборки п; при неограниченном увеличении п, естественно, все выборочные характери­стики приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим характе­ристикам генеральной совокупности. Часто возникает вопрос о том, каков должен быть объем выборки п для того, чтобы по выборочным характеристи­кам можно было с достаточной точностью судить о неизвестных характерис­тиках генеральной совокупности или о том, с какой степенью точности при заданном объеме выборки можно судить о характеристиках генеральной сово­купности. Такой методический прием, состоящий в параллельном рассмотрении бесконечной генеральной совокупности, из которой осуществляется выбор, и ограниченной по объему выборки, является совершенно естественным в тех областях статистики, где фактически приходится осуществлять выбор из весьма многочисленных совокупностей индивидуумов. Для практических задач, связанных с вопросами стрельбы и вооружения, гораздо <5олее характерно другое положение, когда над исследуемой случайной величиной (или системой случайных величин) производится ограниченное число оп, юв с целью определить те или иные характеристики этой величины, на!(имер, когда с целью исследования закона рассеивания при стрельбе производится некоторое количество выстрелов, или с целью исследования ошибки наводки производится серия опытов, в каждом из которых ошибка наводки регистрируется с помощью фотопулемета, и т. д. При этом ограни-

7.51 ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ 143

ченное число опытов связано не с трудностью регистрации и обработки, а со сложностью и дороговизной каждого отдельного опыта. В этом случае с известной натяжкой можно также произведенные п опытов мысленно рас­сматривать как «выборку» из некоторой чисто условной «генеральной сово­купности», состоящей из бесконечного числа возможных или мыслимых опытов, которые можно было бы произвести в данных условиях. Однако искусственное введение такой гипотетической «генеральной совокупности* при данной постановке вопроса не вызвано необходимостью и вносит в рас­смотрение вопроса, по существу, излишний элемент идеализации, не выте­кающий из непосредственной реальности задачи.

Поэтому мы в данном курсе не пользуемся терминами «выборочное среднее», «выборочная дисперсия», «выборочные характеристики» и т. д., заменяя их терминами «статистическое среднее», «статистическая дисперсия», «статистические характеристики».

7.5. Выравнивание статистических рядов

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено, что произведены именно те, а не другие опыты, давшие именно те, а не другие результаты. Только при очень большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и случайное явление обнаруживает в полной мере присущую ему закономерность. На практике мы почти никогда не имеем дела с таким большим числом наблюдений и вынуждены считаться с тем, что любому ста­тистическому распределению свойственны в большей или меньшей, мере черты случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объемом эксперимен­тальных данных. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов.

Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоре­тическую плавную кривую распределения, с той или иной точки зрения наилучшим образом описывающую данное статистическое рас­пределение (рис. 7.5.1).

Задача о наилучшем выравнивании статистических рядов, как и вообще задача о наилучшем аналитическом представлении эмпири­ческих функций, есть задача в значительной мере неопределенная, и решение ее зависит от того, чтб условиться считать «наилучшим». Например, при сглаживании эмпирических зависимостей очень часто исходят из так называемого принципа или метода наименьших квадратов (см. п° 14.5), считая, что наилучшим приближением к эмпи­рической зависимости в данном классе функций является такое, при котором сумма квадратов отклонений обращается в минимум. При этом вопрос о том, в каком именно классе функций следует искать наи- . лучшее приближение, решается уже не из математических сообра-

144

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

[ГЛ. 7

жений, а из соображений, связанных с физикой решаемой задачи, с учетом характера полученной эмпирической кривой и степени точ­ности произведенных наблюдений. Часто принципиальный характер функции, выражающей исследуемую зависимость, известен заранее из теоретических соображений, из опыта же требуется получить лишь некоторые численные параметры, входящие в выражение функции; именно эти параметры подбираются с помощью метода наименьших квадратов.

Аналогично обстоит дело и с задачей выравнивания статистиче­ских рядов. Как правило, принципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее из соображений, связанных с существом задачи,

а в некоторых случаях просто с внешним видом статистического распределения. Аналитическое выражение выбранной кривой распре­деления зависит от некоторых параметров; задача выравнивания ста­тистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистиче­ским и теоретическим распределениями оказывается наилучшим.

Предположим, например, что исследуемая величина X есть ошибка измерения, возникающая в результате суммирования воздействий множества независимых элементарных ошибок; тогда из теоретических соображений можно считать, что величина X подчиняется нормаль­ному закону:

и задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе параметров т и о в выражении (7.5.1).

Бывают случаи, когда заранее известно, что величина X распре­деляется статистически приблизительно равномерно на некотором