Значения критерия Стьюдента при надежности прогноза 95%

(двусторонняя оценка)

Объем ряда	4	5	6	7	8	9	10	12	16	20	24
Число степеней свободы	3	4	5	6	7	8	9	11	15	19	23
Критерий Стьюдента	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.20	2.13	2.09	2.07

По табл. 5 соответствующее значение критерия Стьюдента для Р = 2,5% и n = n - 2 = 10 составляет t_Р = 2,26. Тогда полуинтервал составит

±t_Рs(х) = ±72,6 руб/доллар США.

Видно, что только фактический курс на конец апреля 1997 года выходит за рамки интервального прогноза.

Тем не менее сам факт того, что разница между прогнозным и фактическим курсом имеет одинаковый знак для всех сроков упреждения, говорит о том, что, по-видимому, использование квадратичной модели, учитывающей снижение абсолютных приростов курса, обеспечило бы более точный прогноз.

В изложенном примере прогнозирования по методике работы [5] не учтено расширение доверительных интервалов по мере удаления от центра динамического ряда. В связи с возможностями применения статистических программ, что позволяет автоматизировать обработку данных, ниже излагается уточненная методика прогнозирования, основанная на теории регрессионного анализа [2, 4].

В соответствии с теорией регрессионного анализа, линейная модель тренда не является точно заданной, а в связи с ошибками в определении коэффициентов a₀ и a₁ может занимать различные положения. Ошибки в значении коэффициента a₀ приводят к вертикальному сдвигу линии тренда, а ошибки в значении коэффициента a₁ приводят к “покачиванию” линии тренда относительно центральной точки (t_ср, х_ср). Ширина доверительного интервала для линии тренда минимальна при t = t_ср и увеличивается по мере удаления t от t_ср пропорционально множителю

[1/n + (t - t_ср)²/(ns_t²)]^1/2,

где s_t² = S(t_i - t_ср)²/n - дисперсия временной переменной. Формула для вычисления доверительного интервала аналогична использованной ранее х_ср ± t_Рs(х), только s(х) увеличивается в [1/n + (t - t_ср)²/(ns_t²)]^1/2 раз.

Многие программы статистического анализа, в том числе рекомендуемая нами универсальная статистическая программа Statistica, строят доверительные интервалы для линии регрессии (в данном случае линии тренда) автоматически. На рис. 5 представлена линия тренда и ее доверительные интервалы для рассматриваемого динамического ряда.

Видно, что некоторые точки на графике выходят за пределы доверительной линии тренда. Это обусловлено тем, что на рис. 5 построена доверительная область не для фактических (и прогнозных) значений членов динамического ряда, а для модельной линии тренда, т.е. для средней тенденции ряда. Формула расчета доверительных интервалов для индивидуальных значений учитывает еще дополнительно их разброс относительно линии тренда, т.е. в суммарную дисперсию включить величину s²(х). Тогда множитель

[1/n + (t - t_ср)²/(ns_t²)]^1/2

преобразуется в множитель

[1 + 1/n + (t - t_ср)²/(ns_t²)]^1/2.

Рис. 5. Аппроксимация официального курса доллара линейной трендовой моделью. Верхняя и нижняя линия задают доверительные границы линии тренда на уровне надежности 95%

В качестве примера рассчитаем доверительный интервал для прогнозных величин курса доллара на конец января и апреля 1997 года. При этом, естественно, расчет самих прогнозных значений курса следует проводить по полученной нами линейной модели тренда

х_расч = 4720,462 + 80,052 (t-1).

Для января 1997 г. t = 13, для апреля t = 16. Прогнозные значения курса доллара составят соответственно х_пр = 5681 и 5921 руб/доллар США.

При среднем значении временной переменной для базового ряда t_ср = 6,5 и дисперсии s_t² = S(t_i - t_ср)²/n = 11,92 множитель

[1 + 1/n + S(t - t_ср)²/(ns_t²)]^1/2

для ширины доверительного интервала прогнозного курса доллара на январь 1997 года составит [1 + 1/12 + (13 - 6,5)²/(12×11,92)]^1/2 = 1,142,

а для ширины доверительного интервала прогнозного курса доллара на апрель 1997 года [1 + 1/12 + (16 - 6,5)²/(12×11,92)]^1/2 = 1,280.

Ширина доверительного интервала прогноза на январь и апрель 1997 года составит соответственно ±1,142t_Рs(х) и ±1,280t_Рs(х). Подставляя вместо t_Р и s(х) их значения 2,26 и 32,12, получаем: ±1,142t_Рs(х) = ±82,9 руб/доллар США и

±1,280t_Рs(х) = ±92,9 руб/доллар США.

Сведем полученные результаты в табл. 6.

Т а б л и ц а 6

Прогноз курса доллара на 1997 год

Показатель	Ед.	Месяц прогноза
		Январь	Апрель
Период упреждения	мес.	1	4
Курс доллара на конец периода (прогноз по методике [5])	руб.	5635	5860
Курс доллара на конец периода (прогноз по методике [4])	руб.	5681	5921
Ширина доверительного интервала (по методике [4])	руб.	±83	±93
Курс доллара на конец периода (факт)	руб.	5629	5762
Абсолютная разность между прогнозом по методике [4] и фактом	руб.	52	159

Видно, что фактический курс на конец января 1997 года не выходит за рамки интервального прогноза, рассчитанного по методике [4], а фактический курс на конец апреля 1997 года меньше нижней границы интервального прогноза. Таким образом, приходим к выводу о недостаточной точности прогноза при сравнительно больших периодах упреждения.

Другое замечание касается самой методики. Как следует из сравнения прогнозов по обеим методикам (табл. 6), прогноз по методике [4] дал еще более завышенные результаты. При анализе точек графика рис. 5 хорошо видно, что последние четыре члена ряда обозначают несколько иную тенденцию динамики - абсолютные приросты курса доллара в октябре-декабре имеют тенденцию к уменьшению по сравнении с предшествующим периодом. В то же время прогноз проводился по линии тренда, полученной по всему базовому ряду. Это и привело к завышенным результатам. В случае же прогноза по методике [5] исходной точкой являлся последний месяц базового ряда (курс доллара на конец декабря). Хотя и здесь мы при расчете прогноза исходили из абсолютного прироста курса доллара, усредненного по всему базовому ряду, расчетные значения оказались поэтому ближе к фактическим.

По результатам двух методик прогнозирования для практического применения можно рекомендовать более простую методику, изложенную в [5]. Однако следует учитывать, что в соответствии с теорией регрессионного анализа доверительные интервалы увеличиваются по мере увеличения времени упреждения прогноза, т.е. точность прогноза при этом снижается.