4. Анализ тренда динамического ряда

4.1. На первом этапе проводим анализ возможного типа модели. Альтернативными являются:

модель равномерного развития - увеличения или уменьшения - (D^ц_i = const);

модель тенденции развития (увеличения или уменьшения) абсолютных цепных приростов (D^цD^ц_i = const);

модель устойчивости цепных темпов роста (Т_р^ц_i = const);

модель тенденции развития (увеличения или уменьшения) цепных темпов роста (DТ_р^ц_i = const);

модель развития с замедлением роста в конце периода (Т_пр^ц_i ® 0).

При сравнении данных абсолютного прироста по месяцам (табл. 2) можно заметить, что при среднем абсолютном приросте 75,1 руб/доллар США за последние четыре месяца этот показатель динамики составляет меньшие величины. Отсюда можно предположить, что возможна модель тренда со снижением абсолютных цепных приростов (D^цD^ц_i = const). Для проверки этого предположения рассчитаем цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов D^ц_i по формуле

D^цD^ц_i = D^ц_i - D^ц_i-1.

Полученные результаты сводим в последнюю графу табл. 2. Видно, что знаки этого “вторичного” показателя динамики чередуются, т. е. имеет место его постоянство. Это подтверждается и графически (рис. 2): точки лежат приблизительно равномерно выше и ниже нулевой линии D^цD^ц_i = 0.

Рис. 2. Динамика абсолютного цепного прироста официального курса доллара

Полученные результаты позволяют в качестве возможной предположить модель тренда по квадратичному закону

х_расч = a₀ + a₁t + a₂t²,

где a₀, a₁ и a₂ - параметры модели, а t - время (в данном случае t = 1, 2, ..., 12 - номер месяца рассматриваемого периода).

Будем искать оценки этих параметров по методу наименьших квадратов, минимизируя сумму квадратов отклонений статистических данных х_i от расчетных значений х_расч. При этом используем приложение программы математических расчетов MathCAD или программу статистических расчетов Statistica, в которой все необходимые расчеты проводятся в автоматическом режиме. (При невозможности использования ЭВМ все необходимые расчеты можно выполнить вручную по методике, изложенной в [5].)

На рис. 3 представлены результаты аппроксимации динамики курса доллара квадратичной трендовой моделью.

Рис. 3. Аппроксимация официального курса доллара квадратичной трендовой моделью

Как видно, линия тренда достаточно хорошо динамику курса доллара в 1996 году: точки, отвечающие членам динамического ряда, приблизительно равномерно размещены выше и ниже теоретической квадратичной кривой. Более точную характеристику точности аппроксимации можно получить из значения суммы квадратов отклонений S(х_i - х_расч)² = 9992,44. В соответствии с работой [3], остаточное среднее квадратическое отклонение (СКО) тренда, скорректированное по числу степеней свободы

s(х) = {[S(х_i - х_ср)²]/(n - m)}^1/2,

составляет величину s(х) = (9992,44/9)^1/2 = 33,32 руб/доллар США. Средняя точность аппроксимации составит

d = 100 (s(х) / х_ср) = 100 × 33,32 / 5162 = 0,65%.

Математическая модель тренда выразится следующей формулой:

х_расч = 4711,440 + 82,467 (t-1) - 0,492 (t-1)²,

где вместо переменной t - номера месяца рассматриваемого периода, в качестве независимой использована модифицированная переменная (t-1). Такая замена позволяет дать следующую интерпретацию коэффициентам модели: a₀ = 4711,440 представляет собой расчетный начальный курс доллара (за январь), a₁ = 82,467 означает начальный расчетный абсолютный прирост курса доллара, a₂ = -0,492 означает расчетную скорость роста абсолютного прироста курса доллара за месяц. В данном случае отрицательный знак коэффициента a₂ указывает на снижение абсолютного прироста курса доллара со временем.

Сравнительно малая величина коэффициента a₂ = -0,492 побуждает к проверке упрощенной линейной модели

х_расч = a₀ + a₁t,

без квадратичного члена. В результате оценки параметров упрощенной модели методом наименьших квадратов получена линейная модель тренда

х_расч = 4720,462 + 80,052 (t-1).

Качество этой модели можно оценить по рис. 4.

Рис. 4. Аппроксимация официального курса доллара линейной трендовой моделью

Визуально можно заметить несколько худшее приближение трендовой прямой к точкам, отображающим статистические данные.

Более точную оценку дает сравнение средней точности аппроксимации. Для линейной модели сумма квадратов отклонений S(х_i - х_расч)² = 10315,86 больше, чем в случае более сложной квадратичной модели (для последней S(х_i - х_расч)² = 9992,44). Но при расчете средней точности аппроксимации линейной модели остаточное среднее квадратическое отклонение тренда, скорректированное по числу степеней свободы

s(х) = {[S(х_i - х_ср)²]/(n - m)}^1/2,

составляет величину s(х) = (10315,86/10)^1/2 = 32,12 руб/доллар США, - меньше, чем в случае квадратичной модели. Это объясняется тем, что число степеней свободы, стоящее в знаменателе формулы для расчета s(х), в случае линейной модели больше на единицу. При небольшом объеме динамического ряда это обстоятельство привело к тому, что более подходящей моделью тренда оказалась более простая линейная модель.

На основании вышесказанного в качестве модели динамики курса доллара принимаем линейную модель

х_расч = 4720,462 + 80,052 (t-1).

Входящие в нее коэффициенты интерпретируются следующим образом: a₀ = 4720,462 руб/доллар США представляет собой расчетный начальный курс доллара (за январь), a₁ = 80,052 руб/доллар США в месяц означает расчетный месячный абсолютный прирост курса доллара. Относительная средняя точность аппроксимации полученной моделью около 0,65 %.