12.8 Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент требует избыточного числа опытов, если объект может быть описан линейной моделью. Следовательно, такой эксперимент характеризуется избыточным числом степеней свободы, которое может быть определено, как число опытов минус число коэффициентов линейной модели l = N-(к +1). Для полного двухфакторного эксперимента число опытов N=4, к=2,следовательно, имеем одну степень свободы. Поскольку почти всегда имеется возможность сузить область эксперимента, то имеется возможность использовать линейную модель. Избыточную степень свободы возможно употребить для минимизации числа опытов. Для этого вектор-столбцу взаимодействия, которым можно пренебречь, присваивается имя нового фактора х₁х₂= х₃. Таким образом, план полного двухфакторного эксперимента используется для проведения дробного трехфакторного эксперимента. В итоге становится возможным в два раза сократить число опытов по сравнению с полным трехфакторным экспериментом. Матрица планирования будет иметь вид

№	х1	х2	х1х2= х3
1	+	+	+
2	+	-	-
3	-	-	+
4	-	+	-

12.9 Дробная реплика

В рассмотренном выше случае была проведена замена х₁х₂= х₃ (а). Вместе с тем существует возможность замены -х₁х₂= х₃(б). Если объединить два таких плана, то получится полный трехфакторный эксперимент.

Каждый из этих двух планов называется дробной репликой от полного факторного эксперимента (в рассмотренном случае - полурепликой). Если перемножить каждое из соотношений (а) и (б) на х₃, то получимх₁х₂х₃=1 или х₁х₂х₃=-1. Произведение вектор-столбцов, численно равное ±1, называется определяющим контрастом. Он служит для того, чтобы определить, с каким фактором или взаимодействием смешан данный фактор или взаимодействие. Для этого определяющий контраст умножается на данный фактор (взаимодействие). После умножения определяющего контраста на этот фактор (взаимодействие), получают генерирующее соотношение, которое и определяет искомое взаимодействие, например,х₁х₂х₃=1 умножаем на х₂, получим х₁х₃= х₂.

Как полный, так и дробный многофакторный эксперименты не позволяют оценить коэффициент при квадратах соответствующих факторов, таккак вектор-столбец равен вектор-столбцу х₀.

Если в дробном факторном эксперименте р взаимодействий смешаны с kфакторами, то такая дробная реплика обозначается как 2^к-р . Если фактор связан с взаимодействием наивысшего порядка, то такая дробная реплика называется главной. В случае использования матрицы полного двухфакторного эксперимента для дробной реплики трехфакторного эксперимента есть только одна возможность смешать взаимодействие первого порядка (x₁x₂) с фактором х₃ (х₁х₂ = х₃). В таком случае получают дробную реплику разрешающей способности III: , которая определяется по числу факторов в определяющем контрасте (например, в случае х₁х₂х₃=1, разрешающая способность III).

Дробные реплики типа 2^k-pпозволяют сократить число опытов в 2^pраз по сравнению с полным факторным экспериментом. Такие дробные реплики называют регулярными. Они полностью сохраняют свойства полного многофакторного эксперимента.