12.1 Метод ортогонального планирования эксперимента Бокса-Уилсона

Математическое планирование эксперимента - это формализованная процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью. Эта процедура позволяет:

а) минимизировать число опытов;

б) изменять параметры, влияющие на состояние объекта по определенному закону;

в) использовать математический аппарат, формализующий действия экспериментатора при обработке данных и получить математическую модель объекта исследований;

г) использовать логический аппарат при принятии решений на основе анализа полученной модели.

Все задачи, решаемые методом математического планирования, можно разделить на два класса:

• задачи интерполяции, имеющие своей целью описать объект в некоторой области его существования;

• задачи оптимизации, которые имеют своей целью определение оптимальных условий существования объекта без учета влияния каждого фактора в отдельности.

Нередки случаи, когда задачи интерполяции и оптимизации встречаются в комплексе, например, при разработке систем автоматического регулирования нужно знать и оптимальные условия и степень влияния всех факторов, от которых зависит это состояние.

Важно понимать, что математическое планирование эксперимента не универсальное средство, применение которого является оправданным для решения любого рода задач. Например, сомнительна целесообразность использования этого метода для исследования объектов с малым числом физических параметров, влияющих на его состояние при наличии детерминированного математического описания объекта.

Однако, математическое планирование эксперимента целесообразно использовать для исследования сложных многопараметрических задач (объектов), для которых отсутствует детерминированное математическое описание и мало изучены физико-химические закономерности процесса, т.е. для "объектов в себе", объектов, близких по своим свойствам к "черному ящику".

12.2 Объект исследования

Для представления о свойствах объекта, который целесообразно исследовать методом математического планирования, рационально использовать понятие о кибернетической системе "черный ящик", являющийся классическим "объектом в себе" (рис. 2).

Рис. 2 Кибернетическая система "черный ящик":

х₁,х₂,...,х_п- факторы, которые воздействуют на объект (входы ''черного ящика"); y₁, y₂,…, y_n –отклик "черного ящика" на соответствующее возмущение

Исследователь не имеет представления о процессах, происходящих внутри "черного ящика" и, более того, сознательно отказывается от исследований детерминированных закономерностей существования объекта. Единственной информацией, которую можно получить от объекта, является отклик у_j, получаемый после возмущений х_j, которые оказывают на него. Отклик у_j- параметр, который характеризует объект в интересующем исследователя аспекте. Этот параметр также носит название целевой функции или параметра оптимизации.

В общем случае существует бесконечное множество состояний "черного ящика", каждое их которых характеризуется соответствующим набором факторов x_j. В общем случае определить число возможных состояний объекта можно с использованием функции

N=p^k,

где р- число уровней, на которых может варьироваться каждый из факторов; k- общее число факторов.

Таким образом, N -это число опытов, которые нужно провести, чтобы исследовать поведение объекта в некоторой области его существования. Например, чтобы исследовать объект, который изменяется под воздействием 10 факторов (k= 10), причем каждый фактор принимает четыре значения (p = 4), то при использовании однофакторного эксперимента

потребуется N=4¹⁰> 1000000 опытов. Очевидно, что все возможные состояния перебрать невозможно, поэтому и используются методы математического планирования (ортогональное планирование, симплексное планирование и т.п.).

Объект исследования при математическом планировании эксперимента должен соответствовать определенным требованиям.

• Объект исследования должен быть воспроизводимым (требование однозначности). Для проверки данного условия выбирают произвольно некоторые значения факторов и определяют соответствующее значение целевой функции. По истечении достаточно большого промежутка времени вновь задают те же значения факторов и заново оценивают величину целевой функции. Если расхождение при этом не превышает некоторой заданной величины, то условие однозначности выполняется.

• Объект исследования должен быть управляемым. Это означает, что объект может быть приведен в любое из возможных состояний в области его существования и поддерживается в данном состоянии сколь угодно долго, т.е. каждый из факторов может быть выбран на любом уров­не и зафиксирован на этом уровне достаточно длительное время.