§5. Правило вибору (правило с)

В математиці часто використовують такі роздуми: нехай доведено деяке твердження (тобто елемент , який володіє деякою властивістю ), вибирають деякий конкретний елемент , який має властивість , в результаті приходять до твердження (формулі), яке не містить елемента .

Правило, що дозволяє переходити від до називають правилом С (правилом вибору).

Кажуть, що формула виведена із множини гіпотез Г з використанням правила С тоді і тільки тоді, коли існує послідовність формул така, що виконуються наступні умови:

1). Для будь-якого або

а). аксіома К або

б). гіпотеза із Г, або

в). отримана за MP або Gen з деяких попередніх формул, або

г). формулі передує формула , а сама формула є , де - нова предметна постійна (правило С).

2). В якості аксіом в пункті 1а) дозволяються усі можливі логічні аксіоми, що включають нові предметні постійні, що були введені раніше за правилом С, тобто за 1г).

3). Не допускається застосування правила Gen до змінних, які вільні хоча б в одній формулі виду , до якої раніше було застосовано правило С.

4). не містить нових предметних постійних, зв'язаних за допомогою правила С.

Приклад1. ⊦

1. гіпотеза

2. С,1

3. видалення &,2

4. Е4,3

5. введення ⋁,4

теорема дедукції ⊦ формула

Приклад2.

1. гіпотеза

2. гіпотеза

3. С,1

4. А ,2

5. MP 3,4

6. Е4,5 що і треба було.

Всяка формула, яка може бути виведена за допомогою правила С, може бути виведена і без цього правила, тобто правило С – допоміжне.

Теорема. Якщо Г⊦ за допомогою С, то Г⊦ .

Доведення. Нехай є яке-небудь виведення формули із Г з С, нехай - формули (в порядку їх виникнення), до яких в цьому виді застосовується правило С, нехай - нові предметні константи, що вводяться при цьому. Виходить, що якщо з самого початку взяти формули за гіпотези, то можна вивести без правила С:

Г, .

В силу обмеження на застосування правила Gen в первісному виведенні, ми можемо застосувати теорему дедукції: Г, . Замінимо всюди константу на змінну , що не зустрічається в цьому виведенні, отримаємо:

Г,

За правилом Gen

Г,

Застосуємо п.4 Леми: ⊦ , якщо не являється вільною в . Тоді Г,

Формула з’являється у виведенні з правилом С після формули , до якої і застосовується правило С, але тоді

Г,

можна замінити на

Г,

Так як , за MP, то Г, .

Повторюючи цю схему роздумів, виключаємо по черзі , в результаті отримаємо Г⊦ .