§2. Теореми теорії першого порядку

Твердження1. Якщо формула теорії К – приватний випадок тавтології, то - теорема теорії К, причому може бути виведена за допомогою одних лише схем аксіом (1)-(3) и правила modus ponens.

Доведення. Нехай отримана із деякої тавтології за допомогою підстановок. Згідно з теоремою про повноту - теорема теорії L, тобто існує виведення формули в теорії L. Зробимо всюди в цьому виведенні підстановки за таким правилом: 1). Якщо яка-небудь проп. буква входить в , то на місця усіх входжень в кожну формулу виведення підставляємо ту формулу теорії К, яка підставлялась в на місця входжень тієї ж букви при побудові ; 2). Якщо дана ПБ не входить в , то на місця усіх її входжень у формули виведення підставляємо довільну (одну й ту саму для даної букви) формулу теорії К. Отримана таким чином послідовність формул і буде виводом формули в К. Це виведення використовує тільки схеми аксіом (1)-(3) і правило МР.

Твердження2. Всяке обчислення предикатів першого порядку К несуперечливо.

Доведення. Нехай - довільна формула, - вираз, який отримується в результаті перетворення формули : в опускаються усі квантори і терми (разом з дужками і комами).

Наприклад, .

Ясно, що .

Для всякої аксіоми , отриманої за якою-небудь зі схем аксіом (1)-(5), являється тавтологією. Для схем (1)-(3) це очевидно. (Наприклад (1) отримаємо - приватний випадок (1), аналогічно (2),(3)).

тому для схеми (4)

отримаємо тавтологію виду . Для схеми (5) - це тавтологія виду .

Якщо і – тавтології, за Леммою1 про тавтології - тавтологія.

Якщо - тавтологія, то - тавтологія, так як .

Тобто, якщо формула - теорема, то - тавтологія. Якщо б існувала формула в К така, що ⊦ і ⊦┐ , то обидва вирази і =┐ були б тавтологіями, а це неможливо. Теорія К несуперечлива.

Нехай – деяка формула із множини Г, – деяке виведення із Г, кожний шаг в якому обґрунтований. Будемо говорити, що залежить від в цьому виведенні, якщо:

1). є і обґрунтуванням являється належність до Г

2). обґрунтовано як безпосередній наслідок за МР або Gen деяких попередніх в цьому виведенні формул, з яких принаймні одна залежить від .

Приклад.

1. гіпотеза залежить від

2. гіпотеза залежить від

3. А4

4. MP із п.1,3 залежить від

5. MP із п.4,2 залежить від ,

6. Gen 5 залежить від ,

Твердження3. (Послаблена теорема дедукції) Якщо не залежить від в виведенні Г, ⊦ , то Г ⊦ .

Доведення. Нехай - виведення з Г і , в якому не залежить від .

Індуктивне припущення: твердження справедливе для всіх виведень, довжина яких .

Базис індукції: . Тоді аксіома або гіпотеза з Г Г⊦ .

Розглянемо виведення довжиною . Якщо Г або є аксіомою, то Г⊦ . Якщо являється безпосереднім наслідком яких-небудь (однієї або двох) попередніх формул, то, оскільки не залежить від , не залежить від і ні одна з цих формул.

Тобто, за індуктивним припущенням, з Г виведені ці (одна або дві) формули, а разом з ними і формула .

Теорема дедукції.

Нехай Г, ⊦ і при цьому існує таке виведення з , в якому ні при якому застосуванні правила узагальнення до формул, що залежать в цьому виведенні від , не зв'язується квантором ніяка вільна змінна формули . Тоді Г⊦ .

Доведення. Нехай – виведення з , яке задовольняє умову теореми. Доведемо за індукцією, що Г⊦ для будь-якого .

Базис індукції: . Якщо – гіпотеза із Г(або аксіома), то

1. – гіпотеза, або аксіома

. - А1

3. - MP 1,2

Г⊦

Якщо - аксіома, або , то , ⊦ , Г⊦ , також Г⊦

Індуктивне припущення: Г⊦ -(*)це доведено , доведем, що тоді (*) справедливо для .

Для можливі такі варіанти:

- це гіпотеза із Г, аксіома, формула , отримана за MP з , отримана за Gen з .

Для перших трьох варіантів Г⊦ – доводиться так само, як і для випадку . Якщо отримано з деяких формул за MP, то . , тому для справедливо (*):

Г⊦ , так як виведення із Г:

.

.

.

1.

Г⊦ , тобто виведення із Г:

.

.

.

2.

Продовжимо виведення із Г.

2.

3. (А2)

4. MP 2,3

5. MP 1,4

Розглянемо останній можливий варіант. Нехай формула отримана за правилом Gen з деякої формули , де . Нехай .

Оскільки застосовувалось правило Gen, то, або не залежить від , або не являється вільною змінною в .

Випадок а). не залежить від і Г⊦

виведення із Г: Г, ⊦ , не залежить від . За послабленою теоремою дедукції звідси Г⊦ .

Тобто виведення із Г:

.

.

.

r.

r+1. Gen, r

r+2. (A1)

r+3. MP r+1, r+2

Г⊦ , тобто Г⊦ .

Випадок б). не являється вільною змінною в формулі , за індуктивним припущенням Г⊦ . Тобто виведення із Г:

.

.

.

l.

l+1. Gen, l

l+2. (A5)

l+3. MP l+1, l+2

Г⊦ , тобто Г⊦ .

Цим завершується індукція. Припущення, що доводиться, отримаємо при .

Наслідки

1). Якщо формула замкнута (без вільних змінних) і Г, ⊦ , то Г⊦ .

2). Якщо Г, ⊦ і в цьому виведенні не застосовувалось правило Gen, то Г⊦ .

3). Якщо Г, ⊦ і в цьому виведенні Gen не застосовується до вільних змінних формули , то Г⊦ .