§5. Логічно загально значимі формули

Означення. Формула називається ЛЗФ, якщо вона істинна в кожній інтерпретації.

Означення. Формула називається протиріччям, якщо вона хибна у всякій інтерпретації, тобто - ЛЗФ.

Означення. Нехай задана формула обчислень висловлювань, яка являється тавтологією: . Усі входження п-букв замінимо на формулу обчислення предикатів . Отримаємо формулу обчислення предикатів . Будемо називати її приватним випадком тавтології .

Твердження1. Кожний приватний випадок тавтології являється ЛЗФ.

Доведення. – А1(являється тавтологією)

. Вона являється ЛЗФ. Від супротивного:припустимо, що це не так. Тоді інтерпретація, а в ній послідовність , на якій формула не виконана. Значить, посилання виконується на і слідує не виконується на .

Для схем А2 і А3 аналогічно доведемо, що вони ЛЗФ.

МР: – ЛЗФ і - ЛЗФ - ЛЗФ.

Усі інші аксіоми обчислення висловлювань отримані за допомогою вивода, де

1.

2.

3. аксіома або формула, отримана за правилом МР.

.

.

.

n. аксіома або формула, отримана за правилом МР.

В ці формули підставимо замість ПБ формули логіки предикатів, отримаємо -ЛЗФ,…, -ЛЗФ.

Твердження2. Якщо формула містить вільні змінні , а терм вільний для в формулі , тоді формула являється ЛЗФ, де отримана заміною усіх вільних входжень змінних на терм .

Доведення. Від супротивного: інтерпретація, а в ній послідовність , на якій формула не виконана

Твердження3. Якщо формула не містить як вільну змінну, тоді являється ЛЗФ.

Доведення. Від супротивного: інтерпретація, а в ній послідовність , на якій формула не виконана протиріччя.

Твердження4. Формула - ЛЗФ формула ┐ являється здійсненою.

Доведення. Нехай ЛЗФ. Візьмемо будь-яку інтерпретацію. істинна в цій інтерпретації виконана ┐ не виконана ┐ не здійснена.

Твердження5. здійснена ┐ не являється ЛЗФ.

Доведення. здійснена інтерпретація, . виконана на ┐ не виконана на ┐ не являється істинною в даній інтерпретації ┐ не являється ЛЗФ.

Говорять, що формула логічно тягне формулу , якщо в будь-якій інтерпретації формула виконана на всякій послідовності, на якій виконана формула .

Формули і називаються логічно еквівалентними, якщо кожна з них логічно тягне іншу.

Обчислення предикатів

§1. Теорія першого порядку к

Початковими символами кожної теорії першого порядку являються зв'язки ┐,⊃, квантор , якими зв'язані предметні змінні, дужки (,), предметні змінні - кінцева множина, предикатні букви – не порожня, кінцева множина, функціональні букви - порожня, кінцева множина, предикатні константи . Залишаються колишніми означення терма, формули та зв'язки &,⋁, , квантор .

Аксіоми усіх теорій першого порядку розбиваються на логічні (однакові для всіх теорій першого порядку) і особисті (в теорії К відсутні).

Логічні аксіоми

Якими б не були формули теорії першого порядку, наступні формули являються логічними аксіомами:

А1.

А2.

А3.

А4. , де вільний для змінної в , а отримана заміною усіх вільних входжень в на , зокрема, якщо

А5. , де не містить вільних змінних

Теорія першого порядку без особистих аксіом називається обчисленням предикатів першого порядку.

Правилами вивода теорії першого порядку являються:

1). Modus ponens (MP): із і випливає

2). Правило узагальнення (Gen): із випливає

Нехай Г – довільна множина формул теорії К.

Формула називається виведена з множини гіпотез Г (пишуть:Г ), якщо існує послідовність формул , така, що формула співпадає з , а являється або аксіомою, або формулою із Г, або отримана за правилами вивода із деяких попередніх формул цієї послідовності. При цьому послідовність називається виводом формули із множини гіпотез Г.

Якщо Г і Г – пуста множина, то кажуть, що формула виведена в теорії К, пишуть .

Будь-яку виведену формулу називають теоремою теорії К.