§4. Інтерпретації

Інтерпретація – це система, яка складається з: 1). - не порожня множина(область інтерпретації); 2). Деяка відповідність, що відноситься до кожної предикатної букви - деякий n-місний предикат , кожній функціональній букві деяку n-місну операцію , кожній предметній постійній - деякий елемент з області .

Формули логіки предикатів мають сенс тільки тоді, коли вказана яка-небудь інтерпретація символів, які входять в ці формули.

В даній інтерпретації всяка формула без вільних змінних представляє собою висловлювання, яке істинне або хибне, а всяка формула з вільними змінними – деякий предикат на області інтерпретації, істинний, можливо, для одних значень і хибний – для інших.

Приклад1. - область інтерпретації

Предикат

В даній інтерпретації розглянемо формули:

а). б).

Формула а) – це двомісний предикат , істинний для всіх упорядкованих пар чисел , для яких .

Формула б) – це одномісний предикат: “для кожного натурального числа ”. Для будь-якого значення цей предикат має значення (тотожно-хибне).

в). - одномісний предикат: . Цей предикат являється тотожно-істинним.

г). . Нехай в нашій інтерпретації предметній константі ставиться у відповідність такий елемент з області . Для даної інтерпретації формула 2) – висловлювання: . Тотожно-істинне.

Нехай дана деяка інтерпретація з областю Ɛ- множина усіх парних послідовних елементів з .

Візьмемо деяку послідовність . Нехай , що відображає множину всіх термів в області за такими правилами:

Якщо терм - це предметна змінна , то , де - це елемент послідовності .

Якщо терм - це предметна постійна , то , де - це інтерпретація константи .

Якщо терм , де - це функціональна буква, а - терми, то . ( - це операція, яка інтерпретує функціональну букву ).

Приклад2. Нехай , , . Нехай , терм Знайдемо .

,

Для вичислення треба зробити наступне:

1). В термі замінити

2). Виконати операції . В нашому прикладі2

Дамо означення здійснимості формули на послідовності .

1). Якщо - елементарна формула , - відповідний предикат в інтерпретації, то формула виконана на послідовності тоді і тільки тоді, коли

2). Формула виконана на тоді і тільки тоді, коли формула не виконана на .

3). Формула виконана на тоді і тільки тоді, коли формула не виконана на або коли формула виконана на .

4). Формула виконана на тоді і тільки тоді, коли формула виконана на будь-якій послідовності , яка відрізняється від не більш ніж своєю -тою компонентою.

Означення. Формула називається істинною(в даній інтерпретації) тоді і тільки тоді, коли вона виконана на всякій послідовності із Ɛ.

Означення. Формула називається хибною(в даній інтерпретації) тоді і тільки тоді, коли вона не виконана ні на одній послідовності із Ɛ.

Властивості поняття здійснимості формули на послідовності.

хибна в даній інтерпретації істинна, і істинна хибна.

Доведення. Нехай формула являється хибною в даній інтерпретації. Тоді формула не виконана на виконана на , істинна в даній інтерпретації. Справедливе і обернене твердження.

істинна - хибна доводиться аналогічно.

Ніяка формула не може бути одночасно істинною та хибною в одній інтерпретації. (Це випливає з означення).

Якщо в даній інтерпретації формули істинні, то істинна і формула .

Доведення. - істинні в даній інтерпретації. Припустимо, що не являється істинною. Тоді на формула не виконана. Формули виконані на формула виконана на . Отримали протиріччя.

Формула являється хибною в даній інтерпретації - істинна, - хибна.

Доведення. Нехай формула - хибна. Тоді формула не виконана на виконана на і не виконана на , - істинна, - хибна. Справедливе і обернене твердження.

Формула виконана на послідовності виконана на і виконана на .

Доведення: . виконана на не виконана на

Формула виконана на послідовності виконана на або виконана на .

Доведення. = . виконана на не виконана на або виконана на виконана на або виконана на .

Формула виконана на послідовності виконана на і виконана на , або не виконана на і не виконана на .

Доведення. = . виконана на

Формула виконана на формула виконана хоча б на одній послідовності , яка відрізняється від не більш, ніж одною -тою компонентою.

Доведення. - це

виконана на не виконана на деякій послідовності , яка відрізняється від не більш, ніж своєю -тою компонентою виконана на , від не більш, ніж -тою компонентою.

Формула істинна в даній інтерпретації в цій інтерпретації істинна формула .

Доведення. істинна виконана виконана .

Означення. Замиканням даної формули назвемо формулу, яка виходить приписуванням до зліва знаків кванторів загальності, що містять у порядку спадання індексів усі вільні змінні, що входять в .

Приклад. Нехай є . Тоді замиканням буде .

Якщо формула не містить вільних змінних, то змиканням будемо називати саму формулу .

Нехай вільні змінні(якщо вони є) формули містяться серед змінних . Тоді якщо у послідовностей і компоненти з номерами співпадають, то формула виконана на на .

Для доведення цього твердження знадобиться:

Лема. Якщо змінні терма зустрічаються серед , а у послідовностей і компоненти з номерами співпадають, то .

Доведення. 1. ,

Отримаємо, що .

Ясно, що це справедливо для .

2. (предметна константа)

(за означенням формули і )

3. Припустимо, що твердження леми вірне для термів , усі змінні яких містяться серед , тобто .

Розглянемо терм .

. Лема доведена.

Доведемо твердження 10. Доведення проведемо індукцією за числом кванторів і зв'язок у формулі .

Нехай - це елементарна формула . Так як змінні цієї формули будуть змінними термів , значить вони всі містяться серед . За лемою .

Нехай формула виконана на послідовності , тоді виконана на . Справедливо і обернене.

Індуктивне припущення: твердження вірне для всіх формул з числом зв'язок і кванторів меншим від К. Розглянемо формулу , у якої рівно К зв'язок і кванторів. Можливі три варіанти: , ,

а). Нехай - це ( має К-1 зв'язку, квантор). Нехай виконана на не виконана на (за індуктивним припущенням) не виконана на виконана на . В обернений бік аналогічно.

б). Нехай - це (кожна формула і мають число зв'язок і кванторів ).

Нехай виконана на виконана на або не виконана на виконана на . В обернений бік аналогічно.

в). Нехай – це ..

1. - не являється вільною змінною формули .

Нехай виконана на виконана на і на всіх послідовностях , які відрізняються від не більш ніж -тою компонентою. не міститься серед , тому за індуктивним припущенням формула виконана на і на всіх послідовностях , які відрізняються від не більш ніж -тою компонентою виконана на . Аналогічно і обернене.

2. - вільна змінна формули .

Тоді міститься серед . Нехай виконана на виконана на і на всіх послідовностях , які відрізняються від не більш ніж -тою компонентою (за індуктивним припущення) виконана на і на всіх послідовностях виконана на . Аналогічно і обернене.

Означення. Формулу називають замкнутою, якщо вона співпадає зі своїм замиканням.

Наприклад, всяка формула без вільних змінних являється замкнутою.

11. Якщо формула замкнута, то в кожній інтерпретації вона або істинна, або хибна.

(Зауваження: при цьому формула може бути істинна в одних інтерпретаціях і хибна в інших).

Доведення. - замкнута, тобто не має вільних змінних. Застосуємо властивість 10. Множина змінних з попереднього пункту, зараз порожня. Виходить, що, якщо виконана на деякій послідовності , то виконана на виконана на будь-якій послідовності являється істинною в даній інтерпретації. Якщо не виконана на деякій послідовності , то не виконана являється хибною в даній інтерпретації.

Зауваження. Незамкнута, тобто, яка містить вільні змінні, формула може в деяких інтерпретаціях бути і не істинною, і не хибною. Так, наприклад, формула і інтерпретації виконана лише на послідовностях таких, що . Тобто, в цій інтерпретації формула не істинна і не хибна.