Алфавіт логіки висловлювання

складають: 1. пропозиційні літери: A, B,C, …, A1, B1, C1,…;

2. пропозиційні зв'язки: ¬,&,V, ⊃,≡;

3. дужки ( , ).

З п.літер за допомогою пропозицийних зв’язок та дужок будуються пропозиційні форми (П.Ф.).

Означення (за ММІ).

1. будь-яка п.літера є п.форма;

2. якщо А та В – це ПФ, то ПФ будуть і (¬А), (А&В), (АVВ), (А⊃В), (А≡В);

3. п.формами є ті, і тільки ті об’єкти, для яких це випливає з 1 та 2.

Приклад ПФ:

А₁₇, ((А&В) ⊃С); ¬(А≡В).

Приклад неПФ:

А*В, (А⊃В

§2 Тавтології логіки висловлювання

Розглянемо ПФ , нехай q – це упорядкований набір істинних значень п.літер .

значення ПФ А на наборі q.

Знаходячи значення для всіх наборів q, зводячи ці дані в таблицю, отримаємо істинну таблицю для ПФ А ( в якій число рядків = )

Приклад 1

	((А	&	(¬в))		(¬А))
	0	0	1	1	1
	0	0	0	1	1
	1	1	1	0	0
	1	0	0	1	0

Означення. ПФ А – тавтологія (від грец. теж саме слово), якщо для набора q (істинних значень), які входять в ПФ А пропозиційних літер, .

Основне значення тавтологій полягає в тому, що деякі з них надають правильні способи будування умовиводів (від істинних посилок завжди приводять до істинних висновків).

На даному етапі робиться 1 крок на шляху формалізації - найважливішого метода математичної логіки. Переклад висловлювання з природної мови на символічний називається його формалізацією. Навпаки, називається інтерпретацією.

Означення. ПФ А називається запереченням, якщо для набору q істинних значень, які входять в А п.літер, А(q)=0.

Леми про тавтології

Лема 1. Якщо та - тавтології, то - тавтологія.

Доведення:

Нехай та – тавтології. Припустимо, що не є тавтологією, тоді набір : . Тоді . Отримали заперечення з тим, що - тавтологія.

Лема 2. Якщо є тавтологією, яка містить п.літери та отримується з підстановкою в пропозиційних форм замість , то є тавтологією, тобто підстановка в тавтологію приводить до тавтології.

Доведення:

Нехай - не тавтологія. Тоді існує набір істинних значень п.форм такий, що . Але . Отримали заперечення.

Застосування цієї леми:

Так як - це тавтологія, то тавтологією буде і

Якщо є тавтологією, то говорять, що логічно тягне або є логічним наслідком .

Якщо є тавтологією, то говорять, що та логічно еквівалентні.

Лема 3. Нехай - ПФ, в яку входить ПФ один або декілька разів. Нехай - це ПФ, яка виходить з заміною на ПФорму В одного, декілька або усіх входжень А. Тоді є тавтологією і, відповідно, якщо А та В логічно еквівалентні, то та також логічно еквівалентні.

Доведення:

Візьмемо довільний набір q істинних значень, які входять в ПФорму п.літер.

Випадок 1. А(q) та В(q) мають різні значення (наприклад, , , або навпаки). Тоді і тоді ПФ

Випадок 2 . А(q) та В(q) мають однакові значення, тобто або , або . Але тоді , оскільки відрізняється від тільки тим, що в деяких місцях замість А містить В.

, . Звідси

Ми показали, що ПФ на будь-якому наборі q істинних значень має значення И. Ця ПФ – тавтологія.

Після того, як нами дано означення ПФ, ми вводимо деякі згоди, правила про більш економне використання дужок. Ці правила повинні полегшити запис та читання важких ПФорм. Правила такі:

1. Будемо опускати зовнішню пару дужок.

2. Якщо ПФ містить входження тільки однієї бінарної зв'язки (тобто &, V, або ≡), то для кожного входження цієї зв'язки опускаються зовнішні дужки у тієї з двох форм, що з'єднуються цим входження, яка стоїть зліва. Так, замість будемо писати .

3. Домовимося вважати, що логічні зв'язки упорядковані наступним чином: ¬, &, V, , ≡. Будемо опускати у всякій ПФормі усі ті пари дужок, без яких можливо відновлення цієї ПФорми на основі наступного правила. Кожне входження зв’язки ¬ відноситься до найменшої ПФорми, яка наступна за ним; після розстановки усіх дужок, які відносяться до усіх входжень знака ¬, кожне входження символа & зв’язує найменші форми, які оточують це входження. Після розстановки усіх дужок, які відносяться до усіх входжень знаків ¬ та &, кожне входження зв’язки V зв’язує найменші форми, які оточують це входження, і подібним же чином для та ≡.

При застосуванні цього правила до однієї і тієї ж зв'язці ми рухаємося зліва направо.

Приклад. Відновити дужки в ПФормі.

.

Рішення:

Зауважимо, що не всяка ПФорма може бути записана без вживання дужок. Наприклад, неможливо виключити дужки в ПФ:

, , .