Вступ

Математична логіка - це наука, яка застосовує математичні методи для вивчення загальних структур (або форм) правильного мислення, а також предметом вивчення математичної логіки є процес доведення математичних теорем, самі математичні теорії.

Давньогрецький філософ Аристотель (III ст. до н.е.) вперше розробив теорію дедукції (тобто теорію логічного висновку). Саме він звернув увагу на те, що в міркуваннях ми з одних тверджень виводимо інші, не виходячи з конкретного змісту тверджень, а з визначення взаємозв'язку між їх формами. Фреге (1879 р. - опублікував аксіоматичну теорію висновку).

Складовою частиною математичної логіки є логіка висловлювань.

Логіка висловлювань

§1 Висловлювання та операції над ними

Предметом вивчення алгебри висловлювань є висловлювання. Але алгебра висловлювань не ставить метою їх всебічне вивчення. З численних властивостей висловлювання алгебру висловлювань цікавить лише одне : істинне воно чи хибне. Під висловом розуміємо розповідне речення, про яке можна судити істинне воно чи хибне. Воно не може бути одночасно істинним і хибним.

Домовимося позначати конкретні висловлювання великими латинськими літерами A, B, C, …, X, Y, Z, …(пропозиційні літери) з індексами або без них.

Приклади:

A₁:{Київ – столиця України}

A₂:{Дніпропетровськ знаходиться на берегу Азовського моря}

B₁:{Число 100 парне}

B₂:{Число 100 кратне 3}

C₁:{7>4}

C₂:{Чехов – великий український поет}

D:{Сніг білий}

D₁:{Саша любить Юлю}

Не висловлювання {З Новим Роком!}, {Котра година?}, {Подзвони мені увечері}.

Означення не є висловлюванням.

В літературі є наступні позначення для істинних висловлювань: И, 1, Т(true), та для хибних: Л, 0, F (false). З елементарних висловлювань за допомогою операцій над висловлюваннями (або логічних зв'язок) будують більш складні висловлювання.

1. Заперечення висловлювання.

Запереченням висловлювання Р називають нове висловлювання, яке позначається ¬Р (читається «не Р», або «невірно, що Р»), яке істинне, якщо Р хибне, та хибне, якщо Р істинне.

Таблиця істинності

Р	¬Р
0	1
1	0

Наприклад:

Р:«Дніпро впадає в Чорне море»

¬Р:«Невірно, что Дніпро впадає в Чорне море»

Але правильне речення : «Дніпро не впадає в Чорне море», (перед присудком).

2. Кон'юнкція двох висловлювань.

Кон'юнкцією двох висловлювань А та В називають нове висловлювання, яке позначається А&В або АΛВ (читається «А та В»), яке істинне в єдиному випадку, коли істинні обидва вихідних висловлювання, та хибне в інших випадках.

Таблиця істинності

А	В	А&В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Практика повністю підтвердила, що саме такий розподіл значень істинності найбільше відповідає тому змісту, який надається в процесі розумової діяльності сполучному союзу "та".

Наприклад:

С₂&D=0

3. Диз'юнкція двох висловлювань

Диз'юнкцією двох висловлювань А і В називають нове висловлювання, що позначається АVВ (читається "А або В"), яке хибне в єдиному випадку, коли обидва висловлювання А і В хибні, і істинні в тих випадках, коли хоча б одна з них істинне.

Таблиця істинності

А	В	АVВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Наприклад:

АVВ=0

А={Сніг чорний}, В={7<4}.

PVQ=1

P={Київ – столиця України}, Q={Сніг білий}.

4. Імплікація двох висловлювань.

Імплікацією двох висловлювань називають нове висловлювання, що позначається А→В або А ⊃В (читається "якщо А, то В" або "з А випливає В" або "А досить для В" або "В необхідно для А" або "А спричиняє В"), яке хибне в єдиному випадку, коли А істинне, а В хибне, а в усіх інших випадках істинне.

Таблиця істинності

А	В	А ⊃В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

А називається посилкою (антецедентом). В називається наслідком (консеквентом).

Якщо ми виходили з істинної посилки і прийшли до хибного висновку, значить, ми неправильно міркували.

Процес міркування (→) якраз і моделюється результатом операції А→В.

«Якщо число кратне 5, то і його квадрат кратний 5»=1

Зокрема «Якщо 10 ділиться на 5, то 10² ділиться на 5»=1

«Якщо 11 ділиться на 5, то і 11² ділиться на 5»=1, так як для більшої переконливості друге висловлювання можна сформувати так: «Якщо б 11 ділилось на 5, то і 11² ділилось б на 5»

«Якщо ти можеш перепливти Чорне море, то я - турецький султан.» (цілком нормальне "в життєвому сенсі" твердження).

Або

«Якщо перший доданок ділиться на 5 і другий доданок ділиться на 5, то їх сума теж ділиться на 5»=1.

5. Еквівалентність двох висловлювань.

Еквівалентністю двох висловлювань А і В називають нове висловлювання, що позначається А≡В або А↔В або АВ (читається: "А еквівалентне В" або "А необхідне і достатнє для В", "А тоді і тільки тоді, коли В", "А, якщо і тільки якщо В ") , яке істинне в тому і тільки в тому випадку, коли одночасно обидва висловлювання А і В або істинні, або хибні, а у всіх інших випадках - хибне.

Таблиця істинності

А	В	А≡В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

«7>4»≡«Сніг білий»=хибне;

«7<4»≡«Сніг рожевий»=істинне.