4 Параметрическая оптимизация тп

Параметрическая оптимизация ТП заключается в расчете оптимальных припусков и межпереходных размеров, режимов резания и т.д.

Обычно рассматривается в курсах «Математическое моделирование …» или «Технология СМЭ» и т.п.

См. подраздел «Функциональные математические модели»

Постановка задачи оптимизации

Необходимо преобразовать физические представления о назначении и степень сложности объекта в математическую формулировку экстремальной задачи с формулировкой критериев оптимальности.

Основа критерия оптимальности – целевая функция F:

F = _S . X_S,

где _S - коэффициент влияния; X_S – относительное значение критериев.

Удобно геометрически представлять целевую функцию F (Х).

Множество векторов Х рассматривается как пространство управляющих параметров.

Оптимальным вектором является точка, в которой целевая функция F(X) достигает max при максимизации, либо min при минимизации значения.

В пространстве управляемых параметров выделяют гиперплоскости равного уровня

Уравнение гиперплоскости:

F(X) = a,

где a = const

В случае двумерного случая гиперплоскости выражаются в линии равного выхода.

В постановку задачи оптимизации также могут входить ограничения типа равенств:

,

ограничения типа неравенств:

…

Частным случаем ограничений типа неравенств являются прямые ограничения на управляемые параметры, имеющие вид:

,

где x_imim, x_imax – предельно допустимые физические, технологические или выбираемые по конструктивной целесообразности значения пар

Область пространства управляемых параметров, в которой выполняются заданные ограничения называется допустимой областью.

При наличии ограничений задача оптимизации есть задача условной оптимизации, при отсутствии – безусловной…

Точка, характеризующаяся max или min значением целевой функции при выполнении всех ограничений называется условным максимумом (минимумом).

При отсутствии ограничений – экстремум безусловный.

Пример.

Рис. Пример двумерной целевой функции в 2-х мерном пространстве

Целевая функция в примере задана линиями равного уровня.

Координаты точек Э1 и Э2 – есть точки максимума целевой функции.

Точка Э1 – глобальный максимум (безусловный экстремум данной функции).

Если, например, имеется ограничение

,

то это ограничение можно записать в виде штриховой линии.

Условный экстремум при этом ищется среди точек данной линии. Получили точку Э3 – условный минимум целевой функции, которая имеет ограничения.

Из рисунка видно, что условный экстремум не совпадает с локальными экстремумами Э1 и Э2. Т.е. если задаются ограничения – мы можем не достигнуть первоначальных значений.

Формулировка задачи поиска экстремума целевой функции F(X) в области допустимых значений Х, которые имеют ограничения

,

есть задача математического программирования.

Виды задач:

1. Если хотя бы одна из функций F, ,  ‑ нелинейная, то эта задача нелинейного программирования.

2. Если все или часть параметров Х являются дискретными величинами, то эта задача дискретного или частично-дискретного программирования.

2а. Дискретное программирование называется целочисленным если управляемые параметры Х принадлежат множеству целых чисел.

3. Если линейны все функции – задача линейного программирования.