4. Поняття похибки наближення
Нехай
– точне, але, як правило, невідоме
значення деякої величини, а
– її відоме наближене значення
(наближення). У цьому випадку пишуть
.
Означення.
Абсолютною похибкою
деякого числа
називається абсолютна величина різниці
між його істинним значенням і наближеним
значенням, отриманим в результаті
обчислення або вимірювання.
Позначається
.
.
Відносною похибкою
деякого числа
називається відношення його абсолютної
похибки до модуля наближеного значення
.
Позначається
.
.
Зауваження. В загальному випадку має розмірність величини , а – безрозмірна величина. Часто обчислюється в процентах, тоді вона множиться на 100%.
Оскільки істинне значення величини звичайно невідоме, то наведені вирази для похибок практично не можуть бути використані. Є лише наближене значення і для нього вводиться поняття граничної похибки.
Означення.
Граничною
абсолютною похибкою
наближення
називається число
,
яке не менше абсолютної похибки, тобто
(1)
Розкриваючи в останній нерівності модуль, отримаємо відрізок, який містить точне значення :
.
Граничною відносною похибкою наближення називається відношення граничної абсолютної похибки до модуля числа :
(2)
Звідси випливає наступне співвідношення, яке часто застосовується на практиці:
.
Далі розглядатимемо тільки граничні абсолютну і відносну похибки, для скорочення опускаючи слово "гранична". Також для спрощення запису покладемо
; 
.
Приклад 1.
Знайти абсолютну і відносну похибки
числа
,
заданого а) двома; б) трьома цифрами
після коми.
Розв’язання.
а) Нехай
.
Тоді за формулою (1)
:
;
за формулою (2):
:
.
б) Нехай
.
Тоді за формулою (1)
:
;
за формулою (2):
:
.
Оцінимо величину похибки подання дійсного числа в машинній системі числення. Два найближчих машинних числа можуть бути представлені у вигляді:
;
.
Абсолютна «відстань» між ними дорівнює:
,
а відносна «відстань» визначається виразом:
Звідси ясно, що похибка подання
будь-якого дійсного числа
,
такого, що
,
задовольняє нерівності:
де
– машинне подання дійсного числа
.
Права частина нерівності (3)
називається машинним
епсилоном і позначається
.
Машинний епсилон
– найважливіший параметр обчислювальної
системи. Він характеризує відносну
помилку подання дійсних чисел в пам'яті
комп'ютера. Отримані вирази дають
підставу стверджувати, що будь-яке число
в інтервалі
у машинному поданні не буде відрізнятися
від 1. Звідси випливає простий алгоритм
обчислення машинного епсилона:
Крок 1.
;
Крок 2. Якщо
,
то
;
Крок 3.
.
5. Число вірних значущих цифр наближеного числа. Правила округлення
Наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі, якщо в записі цих чисел всі значущі цифри вірні. Нагадаємо означення цих понять.
Запишемо додатне число у вигляді скінченого десяткового дробу:
,
або
,
де всі коефіцієнти
і
менші за число 10.
Означення. Значущими цифрами наближеного числа називаються всі цифри в його записі, починаючи з першої ненульової зліва.
Приклад 2. Виділити значущі цифри наступних чисел:
1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.
Розв’язання. Виділимо значущі цифри підкреслюванням. За означенням:
1) 0,037; 2) 14,80; 3) 0,00167; 4) 3250000; 5) 0,00005.
Означення. Перші значущих цифр наближеного числа називаються вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перебільшує половини одиниці розряду, який відповідає -й значущій цифрі, тобто
.
Зайві збережені цифри, крім вірних, називаються сумнівними.
Обчислити наближене число з
точністю
означає, що необхідно зберегти вірною
значущу цифру, яка стоїть в
-му
розряді після коми.
На практиці при виконанні обчислень часто виникає потреба в округленні наближеного числа.
Означення. Округленням наближеного числа називається заміна його числом з меншою кількістю значущих цифр.
Для округлення числа до значущих цифр треба відкинути всі його цифри, які стоять справа від -ї значущої цифри. При цьому користуються наступними правилами: