5. Критерій узгодження Пірсона

Нехай досліджується генеральна сукупність випадкової величини і необхідно перевірити нульову статистичну гіпотезу : випадкова величина підлягає закону розподілу . Для перевірки нульової гіпотези здійснимо вибірку з незалежних випадкових спостережень над випадковою величиною . Як відомо, за результатами вибірки можна побудувати емпіричну функцію розподілу . Порівняння емпіричного і теоретичного законів розподілу проводиться за допомогою критеріїв узгодження. Найчастіше використовують критерій узгодження Пірсона (критерій ). Розглянемо цей критерій.

Розіб’ємо всю область значень випадкової величини на інтервалів і підрахуємо кількість елементів , які потрапили в кожний з інтервалів . Оскільки теоретична функція розподілу відома, то, використовуючи формулу , можемо обчислити ймовірності попадання значень величини в інтервал та теоретичні частоти , .

За критерій перевірки нульової гіпотези беруть критерій узгодження Пірсона – випадкову величину, що має розподіл , спостережуване значення якої визначається за формулою

, (2)

і має ступенів вільності,

де — число часткових інтервалів інтервального статистичного розподілу вибірки;

— число параметрів, якими визначається закон розподілу ймовірностей генеральної сукупності згідно з нульовою гіпотезою. Так, наприклад, для закону Пуассона, який характеризується одним параметром , , для нормального закону , оскільки цей закон визначається двома параметрами i .

Зауваження. У статистиці кількістю степенів вільності певної величини часто називають різницю між кількістю випробувань і кількістю величин, знайдених завдяки цим випробуванням незалежно одної від другої.

Очевидно, чим менше відрізняються вибіркові і теоретичні частоти, тим менше . Доведено, що при розподіл (2) прямує до розподілу з k степенями вільності незалежно від розподілу генеральної сукупності.

Побудуємо правосторонню критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію в цю область в припущенні вірності нульової гіпотези дорівнювала рівню значущості :

.

Отже, правостороння критична область визначається нерівністю , а область прийняття нульової гіпотези – нерівністю . За результатами вибірки обчислюємо спостережуване значення критерію і за таблицею критичних точок розподілу при заданому рівні значущості  і числу ступенів вільності знаходимо критичну точку. . Якщо , то нульова гіпотеза приймається, в протилежному випадку – нульова гіпотеза відхиляється.

Зауваження. Формулу (2) можна переписати у вигляді

Співвідношення

(3)

використовується для контролю правильності обчислень.

Приклад. За заданим інтервальним статистичним розподілом випадкової величини — маси новонароджених дітей —

	1—1,5	1,5—2	2—2,5	2,5—3	3—3,5	3,5—4	4—4,5
	10	20	50	35	28	15	12

при рівні значущості перевірити правильність гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки Х — маси новонароджених дітей.

Розв’язання. Для визначення теоретичних частот необхідно обчислити , .

Побудуємо відповідний дискретний статистичний розподіл:

	1,25	1,75	2,25	2,75	3,25	3,75	4,25
	10	20	50	35	28	15	12	170

;

;

.

Обчислення теоретичних частот подано в таблиці:

xi	xi+1
1	1,5	10	–2,11	–1,48	–0,4830	–0,4306	9
1,5	2	20	–1,48	–0,85	–0,4306	–0,3023	23
2	2,5	50	–0,85	–0,22	–0,3023	–0,0871	38
2,5	3	35	–0,22	0,42	–0,0871	0,1628	44
3	3,5	28	0,42	1,05	0,1628	0,3531	33
3,5	4	15	1,05	1,68	0,3531	0,4535	17
4	4,5	12	1,68	2,32	0,4535	0,4898	6

Обчислимо спостережуване значення критерію , для чого складемо розрахункову таблицю

10			9		1	1	0,11	100	11,11
20			23		–3	9	0,39	400	17,39
50			38		12	144	3,79	2500	65,79
35			44		–9	81	1,84	1225	27,84
28			33		–5	25	0,76	784	23,76
15			17		–2	4	0,23	225	13,23
12			6		6	36	6	144	24,00
	170	170					13,12		183,12

Отже, маємо

.

Для контролю правильності обчислень використаємо співвідношення

: 183,12–170=13,12.

Отже, обчислення виконані правильно.

Знайдемо число степенів вільності , враховуючи, що число груп вибірки , а число параметрів нормального розподілу : .

В таблиці критичних точок розподілу , за рівнем значущості та числом степенів вільності знаходимо .

Статистичне рішення: Оскільки 13,12 = =13,3, то відмінність емпіричних та теоретичних частот незначуща. Значить, дані спостережень узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Таким чином, гіпотеза про нормальний закон розподілу генеральної сукупності ознаки приймається.

Правостороння критична область показана на малюнку: