Лекція № 11 Тема: Перевірка статистичних гіпотез
План лекції.
1. Поняття статистичної гіпотези.
2. Критична область. Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез.
3. Загальний алгоритм перевірки правильності нульової гіпотези.
4. Перевірка гіпотез про математичне сподівання.
5. Критерій узгодження Пірсона.
1. Поняття статистичної гіпотези
В природознавстві, техніці, економіці та ряді інших галузей науки для з’ясування того чи іншого випадкового факту часто висловлюють припущення (гіпотезу), яке можна перевірити статистично, тобто спираючись на результати спостережень у випадковій вибірці. Наприклад, в багатьох випадках закон розподілу генеральної сукупності (теоретична функція розподілу) нам невідомий. Але, виходячи з деяких додаткових міркувань, можна зробити припущення про його структуру. Скажімо, висунути гіпотезу, що генеральна сукупність розподілена за нормальним законом. Можлива також ситуація, коли закон розподілу генеральної сукупності відомий, але невідомі його параметри.
Нехай
– випадкова величина (ознака), яка
спостерігається.
Означення.
Статистичною
гіпотезою
називається припущення про структуру
невідомого закону розподілу або про
параметри відомого закону розподілу
випадкової величини
.
Позначається
.
Припущення про значення параметрів розподілу називаються параметричними гіпотезами.
Гіпотеза,
яка перевіряється за матеріалами
вибірки, називається нульовою
(основною) і
позначається
.
Разом з нульовою гіпотезою розглядають
одну з альтернативних
(конкурентних) гіпотез.
Альтернативна гіпотеза позначається
.
Наприклад, якщо перевіряється гіпотеза
про рівність параметра
деякому заданому значенню
:
,
то за альтернативну гіпотезу беруть
одну з наступних гіпотез:
;
;
;
,
де
– задане значення,
.
Вибір альтернативної гіпотези визначається
конкретною задачею.
Розрізняють гіпотези, які складаються з одного або декількох припущень.
Означення. Статистична гіпотеза називається простою, якщо вона складається тільки з одного припущення. Статистична гіпотеза називається складною, якщо вона складається із скінченої або нескінченної кількості простих гіпотез.
Наприклад,
якщо
– параметр показникового закону
розподілу, то гіпотеза
– проста, а гіпотеза
– складна. Вона складається з безлічі
простих гіпотез
,
де
– будь-яке дійсне число, більше 1.
Висунута
нульова гіпотеза може бути вірною або
ні, тому виникає необхідність її
перевірки. Оскільки перевірку проводять
статистичними методами на основі
вибірки, яка складається з
незалежних випадкових спостережень
над
випадковою величиною
,
то її називають статистичною
перевіркою.
Слід мати на увазі, що при статистичній перевірці гіпотези можливі помилки двох типів. Помилка першого роду полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза. Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза. Можливі випадки можна проілюструвати таблицею:
Гіпотеза |
Вірна |
Невірна |
Відхиляється |
Помилка І роду |
Правильне рішення |
Приймається |
Правильне рішення |
Помилка ІІ роду |
Означення.
Рівнем значущості
називається
ймовірність
здійснити помилку І роду. Позначається
.
Найчастіше як рівень значущості
розглядають невеликі ймовірності: 0,1;
0,05; 0,01.
Означення. Правило, за яким приймається рішення про прийняття або відхилення нульової гіпотези називається критерієм.
Означення. Критерії, за допомогою яких перевіряють, чи є деякі розходження в даних двох вибірках істотними (значимими) або випадковими, називаються критеріями значущості.
Означення. Критерії, за допомогою яких перевіряють, чи задовольняє випадкова величина (ознака) заданому закону розподілу, називаються критеріями узгодженості.
Для
перевірки нульової гіпотези
використовують спеціально підібрану
контрольну величину
,
яка є випадковою величиною, точний або
наближений закон розподілу якої відомий.
Величину
також
називають критерієм.
При перевірці гіпотези за результатами
вибірок обчислюють значення величин,
які входять до складу критерію, і таким
чином отримують після відповідних
обчислень спостережуване
значення
критерію.
Наприклад, при перевірці простої
параметричної гіпотези
за критерій беруть оцінку
параметра
.