3. Інтервальні статистичні оцінки для параметрів генеральної сукупності

В попередньому питанні ми розглянули методи побудови точкових оцінок параметрів розподілу за результатами вибірки. Такі методи дозволяють знайти точку, біля якої знаходиться невідомий оцінюваний параметр. В багатьох випадках для невідомих параметрів потрібно знайти не точкову оцінку, а інтервальну, тобто побудувати інтервал, який з наперед заданою ймовірністю містить, або, як кажуть у статистиці, покриває невідоме істинне значення параметра.

Нехай оцінка , побудована по вибірці об’єму , служить оцінкою невідомому параметру . Ясно, що чим точніше оцінка , тим менше абсолютна величина різниці . Якщо ж розглядати нерівність , то чим менше додатне число , тим оцінка точніше. Додатне число називається точністю оцінки.

Означення. Ймовірність , з якою виконується нерівність , тобто

,

називається довірчою ймовірністю або надійністю оцінки з точністю .

За надійність , як правило, беруть число, близьке до одиниці: 0,95; 0,99; 0,997 і т. ін. Іншими словами, довірчою ймовірністю можна назвати таку ймовірність , що подію, яка має ймовірність , можна вважати практично неможливою.

Означення. Якщо для параметра теоретичного закону розподілу виконується співвідношення

,

то числа , називаються довірчими межами для цього параметра, а інтервал , що покриває оцінюваний параметр з заданою довірчою ймовірністю , називають довірчим інтервалом.

Метод довірчих інтервалів, який дозволяє будувати довірчі інтервали. використовуючи точкову оцінку параметру вперше запропонував американський математик Джон фон Нейман (1903-1957).

4. Побудова довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання при нормальному законі розподілу генеральної сукупності

Розглянемо задачу побудови довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання при нормальному законі розподілу генеральної сукупності.

Нехай є вибірка з генеральної сукупності випадкової величини , характеристики якої – математичне сподівання і дисперсія – невідомі. Нехай для цих параметрів отримані точкові оцінки:

, .

Треба побудувати довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання випадкової величини .

Як і раніше, будемо вважати значення вибірки незалежними однаково розподіленими випадковими величинами . Тоді величина являю собою суму незалежних однаково розподілених випадкових величин і, згідно з центральною граничною теоремою, при достатньо великому її закон розподілу близький до нормального. Параметрами нормального розподілу є математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення . Знайдемо їх:

,

.

Таким чином, параметрами розподілу випадкової величини будуть

,

.

1) Побудова довірчого інтервалу при відомій дисперсії

Припустимо, що величина нам відома. Поставимо вимогу виконання співвідношення

,

де – задана довірча ймовірність. Оскільки випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами і , то нормована випадкова величина буде мати нормальний закон розподілу з параметрами 0 і 1. Звідси випливає, що

.

За властивостями нормального розподілу

Тут

Знайшовши , можна написати

або

Таким чином, з надійністю довірчий інтервал

покриває невідомий параметр , причому точність оцінки . Число визначається з рівняння

або ,

тобто за таблицею інтегральної функції Лапласа визначаємо аргумент , при якому ця функція набуває значення .

Приклад 8. Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, яка дорівнює 15 см. Із надійністю побудувати довірчий інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює .

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: , , . З умови задачі маємо: , , Величина обчислюється з рівняння

за таблицею значень функції Лапласа.

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу :

,

Таким чином, маємо:

.

Отже, з надійністю 0,99 (99% гарантії) інтервал покриває оцінюваний параметр .