Лекція № 10 Тема: Статистичні оцінки параметрів розподілу
План лекції:
1. Точкові статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності та вимоги до них.
2. Методи визначення точкових статистичних оцінок.
3. Інтервальні статистичні оцінки для параметрів генеральної сукупності.
4. Побудова довірчого інтервалу для оцінки математичного
сподівання при нормальному законі розподілу генеральної сукупності.
1) Побудова довірчого інтервалу при відомій дисперсії.
2) Побудова довірчого інтервалу при невідомій дисперсії.
1. Точкові статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності
Та вимоги до них
Розглянемо як приклад серійне (масове) виробництво. При серійному (масовому) виробництві різних технічних виробів і пристроїв необхідно вирішувати важливу, але далеко непросту проблему надійності: знати або оцінити час безвідмовної роботи пристрою. Якщо пристрій є складовою частиною більш складного агрегату, то його відмова (вихід з ладу) зовсім необов’язково приводить до відмови всього агрегату.
Наприклад, в конструкції агрегату закладено дублювання деяких недостатньо надійних підсистем.
Мал. 1. Ділянка технологічної лінії.
Однотипові
пристрої виконують одну й ту саму
технологічну операцію
.
На вхід поступають вироби. На виході це
вже вироби, які пройшли технологічну
операцію
.
Одночасна відмова пристроїв
і
– практично неможлива подія. Відмова
будь-якого з них не зупиняє обробку
виробів, треба просто замінити пристрій,
що відмовив, на новий.
Розглянемо випадкову
величину
– час безвідмовної роботи пристрою в
серійному виробництві.
Провівши при однакових умовах
незалежних експериментів, отримаємо
вибірку з генеральної сукупності
.
Тут
– час безвідмовної роботи
-го
пристрою в партії об’єму
.
Нехай випадкова величина
має функцію розподілу, яка залежить від
2 невідомих параметрів
і
:
Оцінивши
за вибіркою
параметри
і
,
приходять до важливих висновків щодо
відмови пристроїв і величини резерву
на заміну.
Розглянемо
тепер довільну випадкову величину
.
Нехай випадкова величина
має функцію розподілу, яка залежить від
невідомих параметрів
(параметрів розподілу, яких на практиці
буває не більше чотирьох)
Провівши при однакових умовах незалежних експериментів, отримаємо вибірку з генеральної сукупності
,
елементи
якої розглядаються як
„екземплярів” випадкової величини
,
кожен з яких має ту ж саму функцію
розподілу
.
Задача полягає в тому, щоб за результатами
вибірки оцінити параметри розподілу.
Означення.
Точковою
оцінкою параметра
розподілу називається функція від
значень
,
яка мало відрізняється від цього
параметра. Інакше
кажучи, оцінка параметра – це його
наближене значення, отримане за вибіркою.
Позначається
.
З означення випливає, що
По відношенню до параметр називається генеральним параметром. По відношенню до оцінка називається вибірковим параметром. Всі шукані вибіркові параметри є деякими функціями елементів вибірки , тобто функціями випадкових аргументів . Взагалі кажучи, оцінки також будуть випадковими величинами, закони розподілу яких залежать від закону розподілу випадкової величини і від об’єму вибірки .
За оцінку невідомого параметра розподілу можна взяти безліч різноманітних функцій вибірки, тому в математичній статистиці до оцінок пред'являють декілька природних вимог: спроможність, незміщеність та ефективність.
Означення.
Оцінка
параметра
називається спроможною,
якщо при збільшенні об’єму вибірки (
)
вона прямує до істинного значення
параметра
,
тобто для будь-якого
.
Означення.
Оцінка
параметра
називається незміщеною,
якщо для будь-якого натурального
математичне сподівання вибіркового
параметру
дорівнює
,
тобто
.
Незміщеність оцінки означає, що користуючись величиною замість , ми не будемо робити систематичної помилки у бік завищення або заниження.
Приклад
1.
Нехай
– вибірка
з генеральної сукупності з середнім
і дисперсією
.
Вибіркова середня
є спроможною і незміщеною
оцінкою
,
оскільки
і
.
Вибіркова
дисперсія
є спроможною і зміщеною
оцінкою
генеральної дисперсії
,
оскільки
За незміщену оцінку генеральної дисперсії беруть так звану виправлену дисперсію
.
Величину
називають виправленим середнім квадратичним відхиленням.
При
великих значеннях
поправочний множник
стає близьким до одиниці. Практично цю
поправку вносять при обчисленні
дисперсії, коли об’єм вибірки
менше 30–40. Іншими словами, оцінка
є незміщеною оцінкою теоретичного
другого центрального моменту
.
Для третього і четвертого теоретичних
центральних моментів
і
незміщеними оцінками будуть
,
,
де
– об’єм вибірки,
,
,
– другий, третій і четвертий вибіркові
центральні моменти відповідно.
Нехай
є дві спроможні та незміщені оцінки
і
для
одного й того самого параметра
.
Якій з них віддати перевагу? Кращою з
них є та, в якої менше дисперсія:
,
де
в
силу незміщеності оцінки.
Означення. Оцінка параметра називається ефективною, якщо у порівнянні з іншими оцінками вона має мінімальну дисперсію
Ефективна оцінка є найкращою оцінкою у тому розумінні, що найкраще використовує інформацію, яка є в вибірці.
Ефективність або неефективність оцінки залежить від вигляду закону розподілу випадкової величини .
Приклад
2. Для
випадкової вибірки з нормальної
сукупності ефективною оцінкою
математичного сподівання є вибіркова
середня
.