§ 8. Классификация пластин 41

Стандартной классификации пластин не существует. В строительной механике корабля применяется условная классификация пластин, которая позволяет упростить расчетные формулы. В зависимости от степени жесткости и действующих напряжений тонкие пластины классифицируются следующим образом: 41

абсолютно жесткие пластины, при изгибе которых цепные напряжения, возникающие под действием поперечной нагрузки, настолько малы, что ими можно пренебречь, т. е. суммарные напряжения в пластине  = _изг; 41

пластины конечной жесткости — влияние их цепных усилий на изгиб существенно и цепные напряжения соизмеримы с изгибными, а суммарные напряжения  = _изг + q; 41

гибкие пластины или мембраны, при изгибе которых цепные напряжения намного больше максимальных изгибных, поэтому изгибными можно пренебречь, а суммарные напряжения  = q. 41

Приведенная классификация относительна. Одна и та же пластина при неизменных условиях закрепления на опорном контуре в зависимости от значения нагрузки р может быть отнесена к любому из указанных выше классов. 41

Для пластины, имеющей определенную толщину и сравнительно малую нагрузку, возникающие цепные напряжения окажутся пренебрежимо малыми по сравнению с изгибными напряжениями, и пластина будет изгибаться как абсолютно жесткая. При дальнейшем увеличении нагрузки цепные напряжения возрастут и станут соизмеримыми с изгибными. Пластина будет изгибаться как пластина конечной жесткости. Наконец, при еще большем увеличении нагрузки цепные напряжения намного превзойдут изгибные, и пластина станет гибкой. Вопрос о том, к какому классу следует отнести ту или иную пластину, решается с учетом размеров пластины, вида опорного контура и значений действующей нагрузки. 41

Гибкие пластины в составе судового корпуса практически не встречаются, поэтому в дальнейшем все расчетные формулы и методики расчета будут приводиться для жестких пластин. Методика определения класса пластин рассмотрена при исследовании изгиба пластин конечной жесткости. 41

§ 9. Расчет абсолютно жестких пластин 42

Изгиб пластин, гнущихся по цилиндрической поверхности. Многие пластины судового корпуса работают как абсолютно жесткие и имеют вид удлиненного прямоугольника. Если отношение сторон а/b > 2, то с достаточной для практики точностью изгиб такой пластины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки можно считать цилиндрическим. В этом случае на большей части длины пластина прогибается одинаково, и лишь на небольших участках в районе коротких сторон опорного контура прогибы пластины изменяются по длине (рис. 2.2, а). 42

Для пластины, гнущейся по цилиндрической поверхности, достаточно рассчитать мысленно выделенную из ее средней части балку-полоску единичной ширины (1 см) с прямоугольным поперечным сечением F = s1 = s (рис. 2.2, б). 42

Термин «балка-полоска» был введен в строительную механику корабля И. Г. Бубновым, который разработал теорию сложного изгиба балок и распространил результаты этой теории на изгиб пластин, гнущихся по цилиндрической поверхности. 42

42

Рис. 2.2. К расчету пластин, гнущихся по цилиндрической поверхности: а — расчетная схема пластины; б — балка-полоска и ее сечение. 42

Если бы рассматриваемая балка-полоска изгибалась независимо от остальных частей пластины, то для исследования ее изгиба были применимы ранее выведенные формулы при условии, что в них I = bs³/12 = = 1s³/12. Если же балка-полоска изгибается в составе пластины, то условия изгиба изменяются лишь вследствие того, что ее поперечное сечение не может деформироваться в направлении оси оу. 42

Таким образом, в случае изгиба изолированной балки-полоски (или обычной балки) _у = 0; _у  0, а в случае изгиба балки-полоски, входящей в состав пластины, _у  0, _y = 0. 43

Согласно закону Гука связь между напряжениями и деформациями балки-полоски, входящей в состав пластины, определяется формулами 43

(2.1) 43

где _х и _y — нормальные напряжения по осям соответственно х и у; _х и _у — относительные удлинения по осям соответственно х и у. 43

Для обычной балки (или изолированной балки-полоски) _y = 0 и, следовательно, _у = –_х. Подставляя выражение _y в первое уравнение (2.1), получим для обычной балки _х = Е_х. Применительно к балке-полоске, входящей в состав толщины _y = 0 и, следовательно, _x = _хЕ/(1 – ²). 43

Сопоставляя формулы, связывающие нормальные напряжения вдоль оси балки с удлинением в направлении этой оси, видим их сходство. Различаются же они тем, что для балки-полоски вместо модуля нормальной упругости Е принята величина E/(1 – ²), называемая приведенным модулем нормальной упругости. 43

43

Рис. 2.3. Искажение прямоугольного сечения при изгибе балки. 43

Используя дифференциальное уравнение изгиба балок EIw" = М, получаем дифференциальное уравнение изгиба балки-полоски 43

(2.2) 43

где величина Es³/12(1 — ²) = D — цилиндрическая жесткость пластины; w" — вторая производная по х прогиба балки-полоски. Формулу (2.2) можно записать в следующем виде: 43

(2.3) 43

Дифференциальное уравнение изгиба балки-полоски, вырезанной из пластины, изгибающейся по цилиндрической поверхности, отличается от обычного дифференциального уравнения изгиба балки только тем, что: 43

изгибающий момент М относится к единице ширины сечения (размерность силы); 43

в качестве момента инерции I выступает момент инерции единицы ширины сечения пластины s³/12; 43

роль модуля нормальной упругости (модуля Юнга) принимает на себя величина Е₁ =Е/(1 — ²); 44

при ширине балки-полоски, равной 1 см, интенсивность поперечной нагрузки q, приходящаяся на единицу длины, равна интенсивности распределенной нагрузки р (давлению) на пластину. 44

Использовав из теории изгиба балок зависимости dM/dx = N; d²M/dx² = q и продифференцировав обе части уравнения (2.3) дважды по х, получим D(w")" = р. Определение прогиба w сводится к интегрированию дифференциального уравнения при заданных граничных условиях. Вычислив прогиб, можно найти изгибающий момент и нормальные напряжения. Воспользовавшись формулой (1.3) для определения нормальных напряжений балок при изгибе и подставив значение момента сопротивления поперечного сечения балки-полоски W = I/0,5s = s²/6, получим формулу для наибольших нормальных напряжений в крайних волокнах балки-полоски 44

(2.4) 44

Касательные напряжения, вызванные перерезывающими силами, при цилиндрическом изгибе пластин оказываются малыми, и их обычно не вычисляют. 44

В практических расчетах пластин, гнущихся по цилиндрической поверхности, широко используют таблицы элементов изгиба статически определимых и статически неопределимых балок [20, т. 1]. При этом ограничиваются определением наибольших значений прогибов и изгибающих моментов. В формулах для вычисления прогиба и изгибающего момента заменяют жесткость на изгиб EI цилиндрической жесткостью D, интенсивность равномерно распределенной нагрузки q — интенсивностью нагрузки на пластину р, а длину балки l — длиной короткой стороны пластины b. В результате получают значения прогиба и изгибающего момента для пластины. 44

Рассматривая цилиндрический изгиб пластины, исключающий влияние коротких сторон опорного контура, предполагают, что пластина имеет бесконечно большую длину. При конечной длине пластины короткие стороны опорного контура всегда оказывают благоприятное влияние на условия изгиба, т. е. при небольшом отношении сторон пластины наибольшие прогибы и напряжения всегда меньше, чем в балке-полоске. 44

В составе судового корпуса имеются пластины, отношение сторон опорного контура которых меньше двух [a/b)<2]. При расчете таких пластин по приведенным выше формулам получают погрешность в безопасную сторону. Для прикидочных расчетов пластин указанные формулы вполне пригодны. 44

Общий случай изгиба абсолютно жестких пластин. В практике расчетов абсолютно жестких пластин широко применяют приближенные расчетные формулы с использованием таблиц, составленных на основании теоретических решений. Обычно определяют только прогибы и изгибающие моменты. При этом расчетная формула проверки прочности пластины имеет вид 45

45

Рис. 2.4. Расчетные схемы общего изгиб 45

абсолютно жестких пластин: а — свободно опертой; б — жестко заделанной. 45

45

В настоящем учебнике приведены формулы (без выводов) для случаев изгиба пластин, наиболее часто встречающихся в практике расчетов. 45

Пластина свободно оперта по всем четырем кромкам рис.2.4, а). Обозначения: M₁ и М₂ — изгибающие моменты в центре пластины, в сечениях, параллельных соответственно короткой и длинной сторонам пластины. Остальные обозначения указаны в § 7. Расчетные формулы: 45

(2.5) 45

Числовые значения коэффициентов k₁, k₂, k₃ приведены в зависимости от отношения сторон а/b в табл. 2.1 [20, т. 2]. 45

Пластина жестко заделана на опорном контуре по всем четырем кромкам (рис. 2.4,6). Обозначения: М'₁ и М'₂ — наибольшие изгибающие моменты соответственно посредине короткой и длинной сторон опорного контура. Остальные обозначения те же, что и для свободно опертой пластины. Расчетные формулы: 45

(2.6) 45

Числовые значения коэффициентов k_i приведены в зависимости от отношения сторон a/b в табл. 2.2 [20, т. 2]. 45

Таблица 2.1. Численные значения коэффициентов k_i при расчете пластин, свободно опертых по всему контуру 46

a/b 46

k₁ 46

k₂ 46

k₃ 46

k₄ 46

k₅ 46

k₆ 46

k₇ 46

k₈ 46

k₉ 46

k₁₀ 46

1,0 46

0,0443 46

0,0479 46

0,0479 46

0,338 46

0,338 46

0,420 46

0,420 46

0,065 46

0,250 46

0,250 46

1,1 46

0,0530 46

0,0494 46

0,0553 46

0,346 46

0,360 46

0,440 46

0,440 46

0,064 46

— 46

— 46

1,2 46

0,0616 46

0,0501 46

0,0626 46

0,352 46

0,380 46

0,450 46

0,455 46

0,062 46

0,260 46

0,285 46

1,3 46

0,0697 46

0,0504 46

0,0693 46

0,357 46

0,397 46

0,465 46

0,468 46

0,061 46

— 46

— 46

1,4 46

0,0770 46

0,0506 46

0,0753 46

0,361 46

0,411 46

0,470 46

0,478 46

0,059 46

0,265 46

0,310 46

1,5 46

0,0843 46

0,0500 46

0,0812 46

0,363 46

0,424 46

0,485 46

0,486 46

0,057 46

— 46

— 46

1,6 46

0,0906 46

0,0493 46

0,0862 46

0,366 46

0,435 46

0,485 46

0,491 46

0,054 46

0,267 46

0,332 46

1,7 46

0,0964 46

0,0486 46

0,0908 46

0,367 46

0,444 46

0,488 46

0,496 46

0,052 46

— 46

— 46

1,8 46

0,1017 46

0,0479 46

0,0948 46

0,368 46

0,452 46

0,491 46

0,491 46

0,050 46

0,271 46

0,347 46

1,9 46

0,1064 46

0,0471 46

0,0985 46

0,369 46

0,459 46

0,494 46

0,502 46

0,048 46

— 46

— 46

2,0 46

0,1106 46

0,0464 46

0,1017 46

0,370 46

0,465 46

0,496 46

0,503 46

0,046 46

0,272 46

0,364 46

3,0 46

0,1336 46

0,0404 46

0,1185 46

0,371 46

0,493 46

0,498 46

0,505 46

0,031 46

0,272 46

0,410 46

4,0 46

0,1400 46

0,0384 46

0,1235 46

0,371 46

0,498 46

0,500 46

0,502 46

0,024 46

0,272 46

0,435 46

5,0 46

0,1416 46

0,0375 46

0,1246 46

0,371 46

0,500 46

0,500 46

0,500 46

0,019 46

0,272 46

0,452 46

 46

0,1422 46

0,0375 46

0,1250 46

0,371 46

0,500 46

0,500 46

0,500 46

0 46

0,272 46

0,500 46

Таблица 2.2. Численные значения коэффициентов ki при расчете пластин, жестко заделанных по всему контуру 47

а/b 47

k₁ 47

k₂ 47

k₃ 47

k₄ 47

k₅ 47

k₆ 47

k₇ 47

k₈ 47

k₉ 47

k₁₀ 47

k₁₁ 47

1,0 47

0,0138 47

0,0229 47

0,0229 47

0,0513 47

0,0517 47

0,452 47

0,452 47

0,440 47

0,440 47

0,250 47

0,250 47

1,1 47

0,0165 47

0,0234 47

0,0264 47

0,0538 47

0,0554 47

0,412 47

0,448 47

0,450 47

0,473 47

0,253 47

0,271 47

1,2 47

0,0191 47

0,0231 47

0,0299 47

0,0554 47

0,0612 47

0,381 47

0,471 47

0,457 47

0,493 47

0,255 47

0,290 47

1,3 47

0,0210 47

0,0224 47

0,0327 47

0,0563 47

0,0668 47

0,352 47

0,491 47

0,462 47

0,505 47

0,256 47

0,306 47

1,4 47

0,0227 47

0,0215 47

0,0340 47

0,0568 47

0,0714 47

0,327 47

0,505 47

0,464 47

0,510 47

0,256 47

0,320 47

1,5 47

0,0241 47

0,0204 47

0,0368 47

— 47

0,0753 47

0,305 47

0,517 47

0,465 47

0,515 47

0,255 47

0,332 47

1,6 47

0,0251 47

0,0193 47

0,0381 47

0,0571 47

0,0784 47

— 47

— 47

0,465 47

0,518 47

0,255 47

0,343 47

1,7 47

0,0260 47

0,0182 47

0,0342 47

0,0571 47

0,0807 47

— 47

— 47

0,465 47

0,519 47

0,254 47

0,352 47

1,8 47

0,0267 47

0,0174 47

0,0401 47

0,0571 47

0,0821 47

— 47

— 47

0,465 47

0,520 47

0,253 47

0,360 47

1,9 47

0,0272 47

0,0165 47

0,0407 47

0,0571 47

0,0826 47

— 47

— 47

0,465 47

0,518 47

0,252 47

0,367 47

2,0 47

0,0276 47

— 47

— 47

0,0571 47

0,0829 47

— 47

— 47

0,465 47

0,515 47

0,252 47

0,374 47

3,0 47

0,0279 47

— 47

— 47

0,0571 47

0,0832 47

— 47

— 47

0,465 47

0,510 47

0,251 47

0,412 47

4,0 47

0,0282 47

— 47

— 47

0,0571 47

0,0833 47

— 47

— 47

0,465 47

0,505 47

0,251 47

0,432 47

5,0 47

0,0284 47

— 47

— 47

0,0571 47

0,0833 47

— 47

— 47

0,465 47

0,505 47

0,250 47

0,450 47

оо 47

0,0284 47

— 47

— 47

0,0571 47

0,0833 47

— 47

— 47

0,465 47

0,505 47

0,250 47

0,500 47