Основные обозначения

В — ширина судна на миделе на уровне грузовой ватерлинии (ГВЛ), м.

с_B — коэффициент общей полноты корпуса судна. D — высота борта судна на миделе, м.

d — осадка судна по летнюю ГВЛ на миделе, м.

g = 9,81 — ускорение свободного падения, м/с².

k_, k_ — коэффициенты допускаемых нормальных и касательных напряжений.

L — длина судна на уровне летней ГВЛ, м.

q — интенсивность внешней нагрузки, кН/м.

s_к — добавка на коррозию к толщине листов обшивки (настила), мм.

w_к, _к — коэффициенты учета коррозии балок при определении момента сопротивления и момента инерции поперечного сечения.

 — водоизмещение судна, т.

 = 1,025 — плотность морской воды, т/м⁸.

_г — погрузочная плотность груза, т/м³.

 — расчетное нормальное напряжение, МПа.

_н — нормативный предел текучести стали, МПа.

_т — предел текучести стали, МПа.

 — расчетное касательное напряжение, МПа.

_н — нормативный предел текучести стали по касательным напряжениям, МПа.

Раздел I. Основы строительной механики морских судов глава 1. Изгиб и устойчивость стержней-балок и стержневых систем § 1. Изгиб статически определимых балок

Основные понятия и определения. Твердое тело, длина которого существенно превышает наибольший размер поперечного сечения, называют стержнем. Стержень, нагруженный поперечными по отношению к его оси силами, именуют балкой.

Поперечное сечение балки может быть симметричным и несимметричным в зависимости от используемых в конструкции профилей. У балки постоянного сечения форма и размеры поперечных сечений не изменяются по длине. В конструкции судового корпуса применяют балки и с переменным по длине сечением.

Геометрическое место центров тяжести (ЦТ) поперечных сечений образует продольную ось балки. Балка считается призматической, если продольная ось ее до приложения внешних сил прямолинейна.

Балочные элементы судовых конструкций подвергаются действию распределенной поперечной нагрузки, а некоторые из них — действию сосредоточенных сил. Под действием поперечной нагрузки балка изгибается и ее продольная ось образует кривую линию, называемую линией прогибов. Если балка после разгрузки восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, то балку и ее деформацию при изгибе считают упругими. Та же балка при увеличении нагрузки может получить остаточные деформации, которые в конструкции корпуса либо существенно ограничены нормативами, либо не допускаются. Ниже рассмотрим только линейно-упругие стержни-балки, т. е. такие, в которых между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость.

Предположим, что внешние поперечные силы, действующие на балку, и линия прогибов расположены в одной плоскости, проходящей через продольную ось балки. Изгиб такой балки называют плоским.

Балки считаются статически определимыми, если все реактивные усилия можно определить из уравнений равновесия (уравнений статики). Типы статически определимых балок показаны на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Типы статически определимых балок и положительное направление осей: а — свободно опертая балка (с шарнирными опорами А, В); б-—консольная балка (с жестко заделанным левым концом).

q — интенсивность внешней нагрузки; Р — сосредоточенная внешняя нагрузка; R_A, R_B— реакции опор; М_A —опорный изгибающий момент; l — пролет балки.

Под действием внешней нагрузки в поперечных сечениях балки появляются нормальные  и касательные  напряжения. Эти напряжения характеризуют меру взаимодействия двух частей балки, мысленно разделенных рассматриваемым сечением. Если  > 0, части балки отталкиваются одна от другой, а если  < 0 — прижимаются. Аналогично в направлении т обе части балки внешними силами сдвигаются одна относительно другой. Касательному напряжению, действующему в поперечном сечении балки, знак не присваивается.

Результирующими (равнодействующими) в рассматриваемом сечении х являются перерезывающая сила N(x) и изгибающий момент М(х), обусловленные соответственно касательными и нормальными напряжениями.

Принятые в строительной механике правила знаков показаны на рис. 1.1 и 1.2. Положительным поперечным прогибом считается прогиб, совпадающий с положительным направлением оси oz (см. рис. 1.1), а положительным углом поворота поперечного сечения — его поворот по часовой стрелке. Сосредоточенные силы, реакции опор и распределенные нагрузки положительны, если их направление совпадает с направлением оси oz. Перерезывающая сила N(x) положительна, если сдвигает левую часть балки относительно рассматриваемого сечения вниз, а правую— вверх (см. рис. 1.2). Изгибающий момент положителен, если изгибает балку выпуклостью вверх.

Чистый изгиб. Теория изгиба балок основывается на приближенной гипотезе плоских нормальных сечений, согласно которой поперечные сечения балки, нормальные к ее нейтральной оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к этой оси в деформированном состоянии (рис. 1.3). Гипотеза плоских нормальных сечений выполняется достаточно

Рис. 1.2. Положительные направления поперечной нагрузки q, изгибающего момента М(х) и перерезывающей силы N(x)	Рис. 1.3. Деформация балки при чистом изгибе.  — радиус кривизны;  — относительное удлинение продольных волокон балки (деформация).

строго лишь в условиях чистого изгиба балки, при котором балка изгибается двумя равными и противоположно направленными моментами. Перерезывающие усилия и касательные напряжения в поперечных сечениях балки при чистом изгибе равны нулю. В результате деформации внутренние, ближайшие к центру кривизны волокна сжаты, а внешние — растянуты. Между сжатыми и растянутыми продольными волокнами существует нейтральная поверхность, в которой волокна не изменяют своей длины. Линия пересечения нейтральной поверхности балки с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью данного сечения.

Нормальные напряжения в поперечном сечении балки в случае чистого изгиба определяют по формуле Гука

(1.1)

т. е. они линейно изменяются в зависимости от расстояния z до нейтраль-ной оси (рис. 1.4), где  — радиус кривизны изгиба. Используя известную из курса технической механики зависимость M/I = Е/,

Рис. 1.4. Нормальные напряжения _х при чистом изгибе балки.

h — высота; b — ширина прямоугольного сечения балки.

формулу (1.1) можно записать в виде

(1.2)

где I — момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси; М — изгибающий момент. В формулу (1.2) введен знак «минус» для того, чтобы получить _х > 0 при растяжении и _х < 0 при сжатии соответствующих волокон с учетом принятых знаков для моментов и положительного направления (вниз) оси z.

Поскольку напряжения пропорциональны отстоянию данного волокна от нейтральной оси, то при плоском изгибе балки все волокна, равноудаленные от этой оси, имеют одинаковые напряжения. Максимальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах, отстоящих от нее на расстоянии z₁ и z₂ соответственно для нижних и верхних (см. рис. 1.4). Принимая изгибающий момент положительным, по формуле (1.2) получим экстремальные значения напряжений:

(1.3)

если |z₁| < |z₂|.

Отношения W₁ = I/|z₁| и W₂ = I/|z₂| соответствующие наиболее удаленным от нейтральной оси точкам, называются моментами сопротивления изгибу поперечного сечения балки.

Для балок с симметричным относительно горизонтальной оси поперечным сечением, когда |z₁| = |z₂| = z, максимальные растягивающие и сжимающие напряжения равны по абсолютному значению

где величины имеют свои знаки [см. формулу (1.2)].

Пренебрегая ввиду малости поперечной деформацией балки при изгибе, получим максимальное значение момента сопротивления для прямоугольного сечения высотой h и шириной b

Значения I и W для балок с другой формой поперечного сечения могут быть найдены из справочников по сопротивлению материалов или расчетом.

Общий случай плоского изгиба балок. В общем случае изгиба балки поперечной нагрузкой в сечениях возникают изгибающий момент и перерезывающая сила, которые уравновешиваются соответственно нормальными и касательными напряжениями. Касательные напряжения искажают поперечные сечения балки, бывшие плоскими до изгиба. Однако это искажение, а следовательно, и деформации волокон мало влияют на

Рис. 1.5. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении балки: а — прямоугольного; б — таврового профиля.

значения нормальных напряжений, полученных по формуле (1.2). Данной формулой можно пользоваться и для определения нормальных напряжений в общем случае изгиба балок.

На основании теоремы Д. И. Журавского, рассмотренной в технической механике, получена формула для вычисления касательных напряжений в горизонтальных слоях балки

(1.4)

где N — перерезывающая сила в данном сечении; S_y— статический момент площади сечения, расположенной выше или ниже слоя z, для которого определяют касательные напряжения, относительно нейтральной оси; s_c — толщина стенки балки. В основу формулы Д. И. Журавского положено допущение о равномерном распределении касательных напряжений по ширине сечения. Согласно известной из курса технической механики теореме о парности касательных напряжений напряжения, действующие в поперечных сечениях балки, находят по этой же формуле.

Для балки с прямоугольным поперечным сечением высотой h касательные напряжения изменяются в зависимости от z по закону параболы (рис. 1.5, а);  =(N/2I) [(h²/4) — z²]. В крайних верхних и нижних волокнах при z = h/2 эти напряжения равны нулю, а на уровне нейтральной оси (при z = 0) достигают максимума; _mах = Nh²/8I = 1,5N/F, где F = bh — площадь поперечного сечения. Следовательно, для балки с прямоугольным поперечным сечением _max в 1,5 раза больше средних значений _ср = N/F.

Касательные напряжения в поперечном сечении двутавровой балки по высоте стенки изменяются тоже по закону параболы, но с меньшей разностью между максимальными и минимальными значениями (рис. 1.5, б). В отличие от изменения напряжений по высоте стенки предположение о равномерности распределенпя касательных напряжений по ширине полки исключается.

В двутавровых балках стенка воспринимает почти всю перерезывающую силу, поэтому приближенно среднее касательное напряжение можно найти по формуле  = N/h_cs_c  _mах, где h_c и s_c — соответственно высота и толщина только стенки балки.

Действительные средние касательные напряжения с учетом работы на срез и поясков _ср  N/  _д, где  = s_cI/S_y — приведенная площадь стенки; _д — допускаемые касательные напряжения. Приведенная площадь стенки для сечения на уровне нейтральной оси катаных профилей имеет пределы 0,85   0,8 ( — площадь поперечного сечения стенки). Из условия прочности стенки на срез приведенная площадь профиля равна  = N/_д. Фактическую площадь стенки двутавровых балок вычисляют по формуле

(1.5)

откуда   1,15 N/  _д.

Дифференциальное уравнение изгиба балок и его интегрирование. Из курса технической механики известно, что основное дифференциальное уравнение изгиба балки постоянного поперечного сечения имеет вид

(1.6)

где EI — жесткость балки. Уравнение (1.6) позволяет определить перемещения точек, лежащих на оси балки при изгибе. Двукратно интегрируя обе части этого уравнения, можно найти значение прогибов w балки в зависимости от координаты х. При первом интегрировании уравнения (1.6) получим значения w' в зависимости от х, т. е. угол поворота данного поперечного сечения балки, а при втором интегрировании — прогиб w

Рис. 1.6. Расчетная схема консольной балки.

Определим ординаты (прогибы) изогнутой оси балки и углы поворота поперечных сечений. Рассмотрим консольную балку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 1.6). Изгибающий момент в произвольном сечении балки с координатой х характеризуется выражением М == qx²/2. Подставляя найденное значение для М в дифференциальное уравнение изгиба, получим EIw" = qx²/2. Интегрируя дважды последовательно обе части уравнения, найдем

где С и D — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, т. е. из условий закрепления опорных сечений балки. Для балки, жестко заделанной на правом конце, граничные условия имеют вид: при x = l w' = 0; w = 0, т. е. на правом конце балки стрелка прогиба и угол поворота равны нулю:

0 = ql³/6 + С; 0 = ql⁴/24 + Сl + D,

откуда С = — ql³/Q; D = — ql⁴/24 + ql⁴/6 = ql⁴/8. Подставляя значения C и D в выражения для прогибов и углов поворота, получим

Выражения для углов поворота и прогибов окончательно примут следующий вид:

Рис. 1.7. Расчетная схема балки. Поперечные нагрузки действуют на отдельных участках.

Рассмотренный метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки используют для определения прогибов и углов поворота балок, у которых изгибающий момент представляет собой непрерывную функцию координаты х на протяжении всей длины балки, т. е. выражение изгибающего момента одинаково для любого сечения балки. При интегрировании такого уравнения число произвольных постоянных не превышает двух. Если на балку действуют поперечные нагрузки, сосредоточенные на отдельных участках балки Р, Q (рис. 1.7), то уравнение изгиба надо интегрировать по участкам. В этом случае функция М_х имеет разрыв, что приводит к" увеличению произвольных постоянных по две на каждый участок. Для определения произвольных постоянных кроме граничных условий необходимо учитывать еще условия сопряжения на стыке участков. Поэтому указанный метод интегрирования приведет к решению громоздкой системы линейных уравнений с большим числом неизвестных. Интегрирование основного дифференциального уравнения изгиба балки упрощается, если использовать метод Клебша, который в настоящее время получил наименование метода начальных параметров. Сущность его состоит в следующем:

изгибающий момент М в сечении балки с текущей координатой х следует выражать только через левые (или только через правые) силы;

если какая-либо распределенная нагрузка действует лишь на части длины балки, то нужно считать ее действующей от сечения, где она начинается, до правого конца балки, приложив на том участке, где она уже не действует, равную ей, но противоположно направленную нагрузку (см. рис. 1.7). Например, для балки изгибающий момент в случае использования этого метода необходимо записывать так:

на первом участке 0  x  a, M = — R₁x;

на втором участке а . хb, М = — R₁x+Р (х — а);

на третьем участке b х с, М = — R₁x + Р (х — а) + q(x––b)²/2;

на четвертом участке с  x  l, М = — R₁x + Р (х — a) +

+ q(x –– b)² –– q( x–– c)²,

или сокращенно

где знаки показывают, что члены, стоящие за ними, учитываются лишь при х  а, х b, х  с и т. д.

Последовательно интегрируя выражения для изгибающего момента, не следует раскрывать скобки, а нужно принимать (х – k) за новую переменную, например:

При таком методе интегрирования условия сопряжения на различных участках балки удовлетворяются автоматически, и число произвольных постоянных при действии любой нагрузки не превышает двух. Произвольные постоянные интегрирования пишутся вначале, так как они относятся ко всему выражению. Например, для рассмотренной балки (см. рис. 1.7) дифференциальное уравнение имеет вид

Дважды интегрируя это уравнение по методу Клебша, последовательно получим выражения для угла поворота и стрелки прогиба

Здесь произвольные постоянные С₁ и С₂ относятся ко всему выражению и определяются только из граничных условий.

В практических расчетах для определения прогибов и углов поворота однопролетных балок обычно используют таблицы элементов изгиба балок, загруженных нагрузками наиболее часто встречающихся видов (20, т. 1, табл. 5.1). Применение с этой целью методов интегрирования нерационально, так как связано с громоздкими вычислениями.

Если на балку одновременно действуют две нагрузки и более, то элементы ее изгиба получают суммированием элементов изгиба от действия каждой нагрузки. Это частный случай применения принципа наложения.