§ 10. Расчет пластин конечной жесткости

Общие положения. В соответствии с классификацией пластинами конечной жесткости² * называют такие пластины, при изгибе которых изгибные и цепные напряжения — величины одного порядка, поэтому существенно взаимное влияние прогиба w(х, у) и цепных напряжений.

В корпусных конструкциях пластины соединены с другими элементами и имеют большое количество промежуточных опор, поэтому являются статически неопределимыми. Статически неопределимы они и по отношению к цепным реакциям на кромках (R_x, R_y), которые оказывают сильное влияние на напряженное состояние пластины конечной жесткости.

Прогибы пластины вызываются поперечной нагрузкой и сами существенно влияют на цепные усилия, которые, в свою очередь, отражаются на прогибах. Поэтому взаимозависимость прогиба, давления, цепных, изгибных и суммарных напряжений оказывается нелинейной. Принцип наложения при расчете пластин конечной жесткости непригоден. Применительно к сильно вытянутой прямоугольной пластине (при а/b = оо) И. Г. Бубнов получил точное решение для равномерного давления р и проанализировал напряженно-деформированное состояние. С целью раскрытия статической неопределимости цепного напряжения он вывел условие совместной деформации балки-полоски и опорного контура и показал, что эти напряжения зависят от коэффициента распора и размеров пластины. Связи, препятствующие свободному смещению кромок пластины в ее плоскости и вызывающие статически неопределимые кромочные цепные реакции, называются распорами. Коэффициент распора зависит от площади распора: K = F/(F+s), где F — площадь распора, приходящаяся на единицу длины большей из сторон. Для корпусных конструкций K = 0,2 - 0,8.

Применение зависимостей сложного изгиба и условия совместной деформации привело к расчетным зависимостям для стальных пластин при р = const,  = 0,3, E = 2,1.10⁶ кг/см². Ниже приведены формулы (без выводов) расчета пластин конечной жесткости для двух случаев закрепления.

Порядок расчета пластин конечной жесткости. По заданным b, s, интенсивности нагрузки p и коэффициенту распора K вычисляют вспомогательную величину lgV и по табл. 2.3 [20, т. 2] находят аргумент жесткости пластины и (и = 0,5b– ).

Таблица 2.3. Значения вспомогательных функций для расчета изгиба пластин конечной жесткости

и	При =0			При  = 1,0
	lgV	0(u)	0 (u)	lgV	1(u)	1 (u)	2 (u)
3,0*	1,935*	—0,386	-0,449	2,506 *	11,201	13,49	7,348
2,5*	2,251 *	—0,660	—0,720	2,166*	2,703	3,05	2,086
2,0*	2,740 *	— 1,621	— 1,702	2,054 *	1,672	1.799	1,436
1,5*	3,713 *	11,38	11,68	2,066 *	1,291	1,343	1,192
1,0*	3,060 *	1,684	1,702.	2,177*	1,111	1,130	1,074
0,5*	3,182*	1,113	1,116	2,443 *	1,026	1,030	1,017
0	оо	1,000	1,000	со	1,000	1,000	1,000
0,5	3,093	0,908	0,905	2,421	0,976	0,972	0,984
1,0	2,687	0,711	0,704	2,090	0,909	0,894	0,939
1,5	2,377	0,532	0,511	1,867	0,817	0,788	0,876
2,0	2,115	0,380	0,367	1,685	0,715	0,673	0,806
2,5	1,888	0,281	0,268	1,524	0,617	0,563	0,736
3,0	1,690	0,213	0,200	1,377	0,529	0,467	0,672
3,5	1,515	0,166	0,153	1,244	0,453	0,386	0,614
4,0	1,359	0,132	0,120	1,120	0,388	0,320	0,563
4,5	1,218	0,107	0,097	1,005	0,335	0,267	0,519
5,0	1,090	0,088	0,079	0,898	0,291	0,224	0,480
5,5	0,972	0,074	0,066	0,798	0,254	0,189	0,440
6,0	0,865	0,063	0,055	0,705	0,223	0,162	0,417
6,5	0,764	0,054	0,042	0,617	0,197	0,139	0,391
7,0	0,671	0,047	0,041	0,535	0,175	0,121	0,367
7,5	0,584	0,041	0,036	0,457	0,156	0,106	0,347
8,0	0,502	0,036	0,031	0,383	0,141	0,093	0,328
8,5	0,425	0,032	0,028	0,313	0,127	0,083	0,311
9,0	0,353	0,029	0,025	0,246	0,115	0,074	0,296
9,5	0,283	0,026	0,022	0,183	0,105	0,066	0,283
10,0	0,218	0,024	0,020	0,122	0,096	0,060	0,270
10,5	0,155	0,021	0,018	0,064	0,088	0,054	0,259
11,0	0,096	0,020	0,017	0,009	0,081	0,050	0,248
11,5	0,039	0,018	0,015	1,955	0.075	0,045	0,238
12,0	1,984	0,016	0,014	1,906	0,069	0,042	0,229
*) Отрицательные значениязначения u, lgV

Рис. 2.5. Расчетные схемы изгиба пластин конечной жесткости: а — свободно опертой; б — жестко заделанной.

Если и < 0,5, пластину считают абсолютно жесткой и расчет ведется по формулам (2.6). При и >> 0,5 полагают, что пластина конечной жесткости, и рассчитывают ее по формулам (2.7) или (2.8). Значения функций _(и), ₀(u) при  = 0; _и), _и), ₁(u) при  = 1,0 определяют по табл. 2.3.

Свободно опертая пластина (рис. 2.5, а). Коэффициент опорной пары  = М_з/М*, где М_з — опорный изгибающий момент на длинных сторонах, возникающий при данном закреплении; М* — опорный изгибающий момент для жесткой заделки кромки пластины при той же нагрузке р. В рассматриваемом случае  = 0. Напряжения и перемещения

(2.7)

где ₁ — полное напряжение на ненагруженной поверхности пластины посредине пролета.

Жестко заделанная пластина (рис. 2.5, б). Коэффициент опорной пары  = 1,0. Напряжения и перемещения

(2.8)

где ₂ – полное напряжение на нагруженной поверхности в заделке на длинной стороне опорного контура.

И. Г. Бубновым и Ю. А. Шиманским были выполнены расчеты цилиндрического изгиба пластин с различными условиями закрепления и различным отношением b/s. Расчеты сведены в таблицы [20, т. 2, с. 424—430]. Результаты расчетов позволяют сделать выводы:

₁ при заданных значениях р и b/s очень мало зависит от K > 0,5, причем влияние K и  тем меньше, чем больше b/s и ₁. Если возникают максимальные напряжения ₁ Поэтому в практических расчетах коэффициент распора принимается равным 0,5;

максимальное напряжение ₁ очень незначительно увеличивается при уменьшении толщины пластины s (_изг падает, a q растет, суммарное почти не меняется), особенно, когда b/s >> 100;

цепные напряжения сильнее влияют на изгиб свободно опертых пластин, чем на изгиб жестко заделанных;

параметр жесткости пластины и, определяющий степень влияния цепных напряжений на изгиб пластины, существенно зависит от значения р, поэтому одна и та же пластина при малых нагрузках, пока и < 0,5, является абсолютно жесткой, а при возрастании р становится сначала пластиной конечной жесткости, а затем абсолютно гибкой.