Приложение в
Парабола. Уравнения параболы.Основные элементы параболы
(симметричная
относительно оси
)
Приложение в
Парабола. Уравнения параболы. Основные элементы параболы
(симметричная
относительно оси ОУ)
Приложение д
Образцы решения базовых задач
Задача 1
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, расстояние между фокусами равно 6, а между директрисами .
Решение
По
условию задачи
,
тогда каноническое уравнение эллипса
имеет вид
,
.
1
Найдем полуфокальное расстояние:
,
.
2
Так как фокусы лежат на оси ординат, то
уравнения директрис определяются
уравнениями
,
,
по условию
или
(*)
,
подставим в равенство (*)
,
где
,
,
.
3
Если у эллипса
,
то
.
Уравнение
эллипса:
.
Ответ:
Задача 2
Эксцентриситет гиперболы равен , а фокусы лежат в точках и . Составить уравнение гиперболы и её асимптот.
Решение
По
условию задачи
,
,
т.е.
,
тогда каноническое уравнение гиперболы
имеет вид:
,
.
1
Найдем фокальное расстояние:
,
тогда
2
По условию задачи
,
тогда
,
.
3
Так как у гиперболы
,
то
Уравнение
гиперболы:
.
Уравнение
асимптот:
,
,
.
Ответ: , .
Задача 3
Составить
уравнение параболы, вершина которой
находится в начале координат, зная, что
она расположена симметрично оси
и проходит через точку
.
Решение
1 Если парабола симметрична оси , то её уравнение имеет вид
или
,
так как парабола проходит через точку , то ветви параболы направлены влево, т.е. парабола определяется уравнением (*)
2 Уравнение, связывающее две переменные определяет линию, если координаты любой точки принадлежащей линии удовлетворяют ему, а не принадлежащие не удовлетворяют.
Подставим
координаты данной точки в уравнение
(*) и найдем параметр
:
,
,
тогда
,
.
Ответ:
Задача 4
Составить
уравнение окружности, диаметром которой
является общая хорда прямой
и параболы
.
Решение
1 Координаты точки пересечения прямой и параболы удовлетворяют каждому из уравнений, определяющих эти линии. Следовательно, нахождение точек пересечения сводится к решению системы уравнений:
,
,
,
,
.
Обозначим
точки пересечения:
,
2
.
Радиус
окружности
3
Найдем
- середину отрезка
,
которая является центром окружности:
,
,
.
4
Уравнение окружности имеет вид
.
Подставим
полученные значения, получим
.
Ответ:
Задача 5
Найти расстояние от правой вершины гиперболы до прямой проходящей через фокус параболы и составляющей угол с осью абсцисс.
Решение
1 Приведем данное уравнение к виду
.
Сгруппируем
члены, содержащие
и
:
.
В каждой из скобок вынесем коэффициенты при квадратах переменных:
(*).
В круглых скобках выделим полный квадрат:
,
.
Подставим в уравнение (*):
.
Раскроем квадратные скобки:
,
.
Выполним почленное деление на 144:
.
2
Положим
,
.
Таким образом произведем параллельный
перенос осей координат в точку
В новой системе координат исходное
уравнение примет вид:
.
Тогда
правая вершина
имеет координаты
,
так как
.
Так
как
,
,
то возвращаясь к старой системе
получим
.
3
Найдем координаты фокуса параболы
.
По аналитическому выражению можно
определить, что парабола симметрична
относительно оси
и ветви её направлены вниз, тогда
,
,
.
4
Составим уравнение прямой
.
Прямая
составляет угол
с осью
,
тогда
.
Для составления уравнения прямой, воспользуемся уравнением “пучка” прямых:
,
имеем
,
.
5
Найдем расстояние от точки
до прямой
:
.
Ответ:
Задача 6
Точка является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить уравнение эллипса, зная его эксцентриситет .
Решение
1
Так как фокусы лежат на прямой
,
параллельной оси
,
то
и уравнение эллипса имеет вид:
(*).
2 Прямая, на которой лежат фокусы эллипса является осью симметрии, найдем малую полуось как расстояние от точки до прямой :
,
.
3
Зная эксцентриситет, найдем
:
,
возведем в квадрат
,
,
,
,
,
тогда
.
4 Найдем координаты центра эллипса:
Ц
ентр
эллипса лежит на пересечении осей
симметрии (рис.5), которые параллельны
осям координат.
Ось
параллельная оси
:
,
.
Ось
параллельная оси
проходит через точку
.
Определяется уравнением
,
.
Тогда
.
5
Подставим найденные значения в уравнение
(*):
.
Ответ:
Задача 7
Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы
,
которая составляет с положительным
направлением оси ОХ угол равный
.
Решение
1 Приведем данное уравнение к каноническому виду
2
Найдем координаты левого фокуса
3
Составим уравнение прямой
По условию
задачи прямая
составляет
с положительным направлением оси ОХ
угол равный
,
тогда по определению углового коэффициента
.
Т.к. прямая
проходит через точку воспользуемся
уравнение пучка:
Ответ:
