Лабораторная работа № 9. Изучение числовых последовательностей

Для выполнения данной лабораторной работы необходимо знать определение последовательности, предела последовательности, возрастающей и убывающей последовательности, поэтому напомним некоторые понятия теории последовательностей.

Если каждому числу п натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел

называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа -х„ называются элементами или членами последовательности (1). Сокращенно последовательность (1) обозначается символом {х_n} (или (x_n)).

Наиболее распространенные способы задания последовательностей аналитический и рекуррентный.

Аналитический - это способ задания с помощью формулы п-го («общего») члена a_n=f(n).

Рекуррентный, когда любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие (один или несколько). При этом способе задания указывается первый член последовательности (или несколько первых членов) и формула, позволяющая определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

Последовательность (а_n) называется убывающей (невозрастающей), если для любого п, и возрастающей (неубывающей), если .

Число а называется пределом последовательности (а_n), если для любого положительного числа существует номер N, такой что при всех п>N выполняется неравенство .

То же определение коротко можно сформулировать так:

Число а есть предел последовательности (а_n), если ее значения отличаются от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места.

Последовательность, имеющую предел , называют сходящейся, в противном случае расходящейся.

Постановка задачи. С помощью табличного процессора MS Excel 2000 найти двадцать первых членов последовательностей, если известно, что

Выяснить вопрос о возрастании (убывании) и пределе последовательностей.

Для решения поставленной задачи придется несколько раз выполнять одни и те же операции для разных последовательностей. Поэтому целесообразно создать макросы для облегчения работы. Макрос - набор инструкций, указывающих последовательность действий, которые должен выполнить Microsoft Excel. Макрос - это, по сути дела, программа, предназначенная для решения некоторой специфической задачи и выполняющейся только внутри Excel.

Ход работы:

1. Включите компьютер.

2. Щелкните на кнопке на панели задач Windows.

3. Выберите команду Программы → Microsoft Excel. Программа Excel откроет новый документ (рабочую книгу).

4 . Создайте файл, в котором будут храниться результаты вашей работы. Для этого нужно выбрать команду Файл → Сохранить как (рис. 1). В открывшемся диалоговом окне Имя файла выделенное имя Книга1 удалить нажатием клавиши

Рис. 1

Delete, после чего набрать с клавиатуры необходимое имя (например, Последовательности_1), а в строке Папка выбрать двойным щелчком имя нужной папки (например, Воробьев). Щелкнуть на кнопке "Сохранить" в окне диалога

5. Чтобы избежать потери данных регулярно сохраняйте рабочий материал с помощью команды Файл → Сохранить или щелчка мышью на кнопке Сохранить на стандартной панели инструментов.

6. На открывшемся Листе1 запишите общий член последовательности (1), вычислите 20 первых членов последовательности (1) и разности между членами последовательности и предыдущими членами. Для этого выполните следующие действия:

1) начните запись Макроса1, который будет создан для заполнения соответствующих ячеек текстовой информации и номерами членов последовательностей, с этой целью:

а) выполните команду Сервис → Макрос → Начать запись (рис. 2);

Р ис. 2

b) в открывшемся диалоговом окне Запись макроса в поле Имя макроса появится заданное по умолчанию название Макрос1 (рис. 3);

Рис. 3

c) чтобы сохранить Макрос1 в активной книге, убедитесь, что в поле Сохранить в выводится Эта книга;

d) щелкните на кнопке ОК. В рабочем окне Excel появится панель инструментов Остановка записи ;

e) чтобы панель не мешала вашим дальнейшим действиям, перенесите ее вправо, ухватившись за рамку, расположенную в верхней части панели;

2) осуществите запись Макроса1 (рис. 4):

Р ис. 4

а ) в ячейку А1 введите текст "а_n=", для этого текст "аn=" наберите на латинском языке. На латинский язык с русского, и наоборот, можно переключиться с помощью нажатия клавиш Shift + Ctrl. Затем выделите с помощью мыши букву n (это можно сделать как в активной ячейке, так и в строке формул, расположенной в верхней части экрана) и выполните команду Формат → Ячейки. В диалоговом окне Формат ячеек установите флажок Нижний индекс (рис. 5). Щелкните на кнопке ОК.

Рис. 5

Нижний индекс будет отображен только в активной ячейке, но не в строке формул. Нажмите Enter;

b) выделите диапазон ячеек А1:С1 и объедините его с помощью кнопки (объединить и поместить в центре) на панели инструментов форматирования. Затем щелкните на кнопке (жирный текст) и кнопке (курсив). В строке формул текст отображается не отредактированным;

c) выделите ячейки A3, А4 и объедините их (кнопка ), затем введите n и нажмите Alt + Enter, чтобы поднять текст внутри ячеек. Для активизации ячейки в соседнем столбце справа от A3, нажмите вместо Enter клавишу Tab;

d) измените ширину и высоту ячейки ВЗ. Для этого выберите команду Формат → Строка → Высота (рис. 6). В диалоговом окне Высота строки

Р ис. 6

замените 12,75 на 27 и щелкните на кнопке ОК. Для этого нажмите, а затем с клавиатуры наберите 27 (рис. 7).

Р ис. 7.

Далее выберите команду Формат → Столбец → Ширина. В диалоговом окне Ширина столбца 8,4 замените на 12, как было сказано в этом пункте выше;

e) введите в ячейку ВЗ текст "Член a_n", a_n введите также как и в п°а). При выделении n, пусть вас не смущает, то, что выделяется все оставшееся поле ячейки после n. В строке формул поместите курсор после символа n. Нажмите левый Alt + Enter, чтобы поднять текст внутри ячейки, а затем Enter;

f) выделите ячейки ВЗ, В4 и объедините их (кнопка );

g) измените ширину ячейки СЗ на 12 (как было описано в пункте 6.2.d);

h) введите в ячейку СЗ текст "Разность (a_n-a_n-1)". После ввода слова "Разность" нажмите левый Alt + Enter, чтобы текст перешел на другую строчку внутри ячейки;

i) выделите ячейки СЗ, С4 и объедините их (кнопка );

j) выделите диапазон ячеек АЗ:С4 с помощью мыши, щелкните последовательно на кнопках (жирный текст) и (курсив), расположенных на панели редактирования;

k) в ячейку А5 введите 1;

l) в ячейку А6 введите 2;

m) выделите ячейки А5 и А6 и протяните их до ячейки, схватившись за маркер автозаполнения, расположенный в нижнем правом углу выделенного диапазона (значок +). Столбец окажется заполненным первыми двадцатью числами натурального ряда;

n) активизируйте ячейку А1;

o) щелкните на кнопке (остановить запись) на панели Остановка записи;

3) в ячейку А1 введите дополнительно (3n³-n+1)/(2n³+n). (см. рис.2). С этой целью введите с клавиатуры (3n3-n+l)/(2n3+n). Выделите 3, которая должна стать степенью, затем выполните команду Формат → Ячейки, в диалоговом окне Формат ячеек установите флажок Верхний индекс. Аналогично вводятся и остальные степени. Нажмите Enter;

4) в ячейку В5 введите формулу первого члена ряда =(3*A5^{^}3-A5+1)/(2*A5^{^}3+A5)(рис. 8). Нажмите Enter. В ячейке В5 отобразится е сама введенная формула, а вычисленное по ней значение. Тем не менее, на самом деле в ячейке содержится формула, которая и отображается в строке формул;

Р ис. 8.

5) выделите ячейку В5 и с помощью автозаполнения заполните ячейки В6:В24. Благодаря относительным ссылкам на ячейки в ячейку В6 запишется формула =(3^*A6^{^}3-A6+l)/(2*A6^{^}3+A6), в ячейку В7 формула: =(3*A7^{^}3-A7+1)/(2*A7^{^}3+A7) и т.д. Адреса ячеек в формуле можно вводить или с клавиатуры или с помощью "щелчка" мышью на требуемой ячейке;

6) на основании полученных данных столбца В сделайте вывод о существовании предела последовательности (1). Введите в ячейку D1 слово "сходится", если последовательность имеет конечный предел, и "расходится" в противном случае. Объедините ячейки , как было показано в п°2.b);

7) в ячейку С6 введите формулу =В6-В5;

8 ) выделите ячейку С6 и с помощью автозаполнения заполните ячейки С7:С24 (Рис. 9.);

Рис. 9.

9) на основании полученных данных столбца сделайте вывод о возрастании (убывании) последовательности (1). Введите в ячейку Е1 необходимую информацию: возрастающая, убывающая или не возрастающая и не убывающая (рис. 9);

10) чтобы подтвердить вывод, сделанный в пункте 6, нужно выяснить поведение последовательности при достаточно больших п. Для этого произведите следующие действия:

а ) выделите диапазон ячеек С6:С24 и выберите команду Формат → Столбец → Скрыть (рис. 10, результат - рис. 11);

Рис. 10.

Р ис. 11.

b) выделите строки 6:23 и выберите команду Формат → Строка → Скрыть (рис. 12);

c) в ячейку А25 введите =А24*5;

d

неРис.1.11.

) выделив ячейку А25, с помощью автозаполнения заполните ячейки А26-А40,

Рис. 12.

е) активизируйте ячейку В24 и, "зацепив" маркер автозаполнения, протяните его до ячейки В40 (рис. 13);

f) в ячейку А41 введите “lim а_n=...”, вместо точек введите соответствующее значение в случае существования такового. Выделите ячейки А41 и В41 и объедините их с помощью кнопки (объединить и поместить в центре), расположенной на панели инструментов форматирования. Затем щелкните на кнопке (жирный текст) и кнопке (курсив) (рис. 14);

7 . Построим точечную функцию зависимости , . Для этого необходимо:

а) выделить ячейки А5:В24 и выберите команду Формат → Строка → Отобразить.

b) На стандартной панели инструментов нажмите на кнопку Мастер Диаграмм . В поле Тип выберите Точечная, а в поле Вид выберите второе изображение - шаг 1 из 4 (Рис. 15.) Нажмите Далее.

c) Выберите диапазон А5:В24 (шаг 2 из 4). Нажмите два раза Далее. На шаге 4 выберите Поместить диаграмму на листе: отдельном. Нажмите Готово.

d) Щёлкните по оси Y значений и в появившемся контекстном меню выберите Формат оси.

e) На вкладке Шкала в поле минимальное значение укажите 1 (Рис. 16). Нажмите ОК.

Р ис. 16.

Анализируя график, можно отметить, что кривая f(n) бесконечно приближается к значению по оси Y в 1,5.