Лабораторная работа 7. Нелинейные и многофакторные модели.

Аналогично задача решается для нелинейного уравнения регрессии, например, или .

Уравнение вида , графиком которого явля-

ется гипербола, выбирают, если значения исследуемого показателя убывают, постепенно замедляя скорость, но, по логике, никогда не смогут достичь нуля.

Для уравнения степенной регрессии ход решения следующий: прологарифмируем исходное уравнение . Обозначим

где

Прологарифмируем таблицу исходных данных и найдем параметры . Окончательно находим .

Пример. Выполним аналитическое выравнивание данных, характеризующих изменение себестоимости единицы продукции вида А в течении года (таблица 1).

Пусть изменение себестоимости описывается уравнениеv гиперболы. Методом наименьших квадратов находим коэффициенты уравнения

a = 40,232 b = 19,081

Подставив в полученное уравнение в качестве x значение условного признака показателя времени t, рассчитаем выровненные значения Y и поместим их в расчётную таблицу. Как видно по суммам величин эмпирических и теоретически определенных значений Y , выровненные значения достаточно близки к эмпирическим данным, что позволяет надеяться на получение достоверных прогнозов на основе построенной модели.

Для наглядности выполненного выравнивания удобно построить графики значений Y и Yтеор.

Расчётная таблица для нахождения параметров уравнения гиперболы

Таблица 1

Месяц	Себестоимость единицы продукции вида А, руб у	Условное обозначение времени t	Выравненные значения у
Январь	58	1	59
февраль	52	2	50
Март	48	3	47
Апрель	45	4	45
Май	44	5	44
Июнь	43	6	43
Июль	43	7	43
Август	42	8	43
сентябрь	42	9	42
октябрь	42	10	42
Ноябрь	42	11	42
декабрь	41	12	42
Сумма	542	-	542

Задание 1.

1. По данным значениям Y в соответствии с № варианта построить график и выбрать вид зависимости y=f(x). См. Приложение 2.

2. На основании метода наименьших квадратов записать систему линейных уравнений для определения неизвестных параметров уравнения регрессии.

3. Решить СЛАУ, т.е.найти коэффициенты, и вычислить значения Yтеорет.

4. Построить графики по значениям Y и Y_{теорет.} на одних координатных осях

Задание 2.

1. Тенденция изменения среднегодовой себестоимости единицы изделия (в тыс. руб.) задана в таблице 2. По данным таблицы построить линейную и степенную функции для описания зависимости y(t).

2. Построить графики функций.

3. Выполнить сравнение функций по величине ошибки отклонения. . Выбрать лучшую из функций.

Таблица 2

T	y
1	8,54
2	7,35
3	7,14
4	6,75
5	6,42
6	5,94
7	5,18
28	47,32

В практических задачах могут быть использованы двухфакторное или многофакторное уравнения регрессии. Линейное двухфакторное уравнение регрессии, например, имеет вид: , факторы (экзогенные переменные).

Рассмотрим двухфакторную модель зависимости расходов на питание от величины расходов на питание и размера семей. Для случая многофакторного уравнения регрессии решают три задачи: определяют форму связи результативного признака с факторными, выявляют тесноту связи, устанавливают влияние каждого из факторов.

Пусть форма связи задается уравнением .

Параметры модели находят методом наименьших квадратов.

Анализ тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при постоянных значениях другого фактора осуществляется при помощи частных коэффициентов корреляции. Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях можно описать с помощью частных коэффициентов эластичности, которые для случая линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам :

, .

Задание 3.

1. По данным таблицы 2. найти зависимость расходов на питание Y от дохода Х₁ и размера семей Х₂.

2. Найти коэффициенты корреляции и сделать выводы о наличии связи между расходами на питание и доходом, расходами на питание и размером семьи.

3. Рассчитать коэффициенты эластичности , , сделать выводы.

Таблица 3

№	Расходы на питание	Доход семьи	Размер семьи
1	433	628	1,5
2	616	1577	2,1
3	900	2659	2,7
4	1113	3701	3,2
5	1305	4796	3,4
6	1488	5926	3,6
7	1645	7281	3,7
8	1914	9350	4
9	2411	18807	3,7