Лабораторная работа 5. Исследование графиков функции спроса.

Если проследить связь между изменением систем цен и доходов группы потребителей, с одной стороны, и спросом этой группы на товары и услуги, с другой, то можно построить функцию оптимального спроса

Конкретная форма функции спроса определяется путем статистической обработки результатов специальных наблюдений за доходами и расходами различных социальных групп.

Для изучения изменения спроса в зависимости от изменения дохода различных потребительских групп применяются, в основном, модели двух видов: функции Янгеля (модели степенного вида ) и функции Торнквиста.

В частности функции спроса Торнквиста для различных групп потребительских благ могут быть записаны в виде:

для моделирования спроса на малоценные товары ,

на товары первой необходимости ,

на товары длительного пользования ,

на предметы роскоши .

Здесь б, в, г - постоянные. Значение постоянной г можно рассматривать как величину дохода, с которого начинается спрос на товары данной группы. Отметим, что при очень большом доходе , величина спроса , что выражает факт асимптотического насыщения потребителя предметами первой необходимости.

Задание

1. Построить графики функций. Для этого в программе Excel протабулировать значения функций на отрезке, например, [0,20]. В столбце А записать заголовок Х, в столбцах B,C,D,E соответственно названия функций.

2. Ввести значения Х в столбец А.

3. Ввести формулы для расчета значений функций в ячейки B2, C2. D2, E2.

4. Построить четыре графика на одних осях, используя Мастер Диаграмм.

5. Сделать и записать выводы о поведении спроса на товары различных групп .

6. Исследовать вид кривых при разных значениях параметров, например, для D0 при значениях Построить соответствующие графики на одних осях. Аналогично провести исследование других функций.

7. В программе Mathcad в начале страницы сверху ввести числовые значения параметров. Ввести формулы для расчета значений функций, располагая их сверху вниз.

8. Построить графики функций, используя инструмент Graph на панели математических инструментов и первый график. Введите имя аргумента x возле оси абсцисс(где стоит курсор), затем поставьте курсор на точку возле оси ординат и введите D0(x). Щелкните вне поля графика. Чтобы построить несколько графиков на одних координатных осях, обозначения функций нужно вводить через запятую.

Лабораторная работа 6. Построение линии тренда – линейная регрессия.

Анализируя множество точек, т.е. множество статистических данных, на практике требуется найти линию, по возможности точно отражающую заключенную в этом множестве закономерность - тренд, тенденцию – линию регрессии. Уравнение регрессии может быть линейным : , x- экзогенная переменная, y – эндогенная, график – прямая линия, криволинейным : , и т.п., график – кривая.

Можно воспользоваться статистическими формулами для отыскания линии тренда, если предполагаемая функция линейная.

Пусть есть данные о количестве производимого товара (выпуск) x и спросе на некоторый товар y за n календарных периодов(месяцев, кварталов, лет)

Год	Выпуск	Спрос
i	x	Y
1
2
…	…	…
n

Вычисляются :

1. Средние значения ,

2. Дисперсии и среднеквадратические отклонения ,

Дисперсия характеризует разброс наблюдаемых значений относительно среднего значения.

3. Корреляционный момент

4. Коэффициент корреляции ,

Величина коэффициента корреляции показывает степень тесноты связи между рассматриваемыми величинами.

5. Параметры уравнения регрессии.

Если считать, что для линейной регрессии, то коэффициент а можно найти из уравнения .

По известным коэффициентам a и b рассчитываются теоретические значения y и строится график.

Прямая линия регрессии отражает тенденцию изменения спроса в зависимости от дохода.

Требуется проверить значимость полученных коэффициентов уравнения регрессии.

Пример. Имеются статистические данные о доходах x и спросе y (таблица 1). Определить, есть ли корреляционная зависимость, и найти параметры уравнения регрессии.

.

I	x	y
1	10	6
2	12	8
3	14	8
4	16	10,3
5	18	10,5
6	20	13

Таблица 1.

По данным значениям выбираем линейную регрессию. Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Оценка погрешности линейного уравнения регрессии.

Обозначим расхождение между теоретическими и экспериментальными значениями :

За меру суммарной погрешности выбрана величина

Остаточная дисперсия , так как

В рассматриваемом примере (спрос-доход)

Можно показать, что ,

При r² = 1, D_u = 0

При r² = 0, D_u = D, следовательно 0 ≤ D_u ≤ D_y,

Стандартная ошибка уравнения находится по формуле где D_u – остаточная дисперсия, (в примере у = 0,6572).

Относительная погрешность уравнения регрессии вычисляется как

(в примере и = 7,07%),

Если величина и мала и отсутствует автокорреляция остатков, то полученное регрессионное уравнение дает хороший прогноз.

Стандартная ошибка коэффициента b вычисляется по формуле

Стандартная ошибка коэффициента a вычисляется по формуле

Коэффициенты a и b считаются значимыми, если

В примере эти значения равны соответственно 3,69 и 0,12.

Коэффициент a незначим.

Положение можно исправить:

1. увеличив число n,

2. увеличив число факторов,

3. изменив форму уравнения.

	x	y
Среднее значение	15	9,3
Дисперсия	14	6,08
Среднекв. отклонение	3,742	2,466
Коррел. момент	8,96
Коэффициент корреляции	0,9712
	b =0,64	a = -0,3

Таблица 2.

Задача построения линии тренда может быть решена методом наименьших квадратов. Согласно методу для описания экспериментально полученных (наблюдаемых) значений из всех возможных функций наилучшей считается та, для которой сумма квадратов отклонений от наблюдаемых значений является наименьшей:

Для линейной функции функция z имеет вид :

Используя необходимое условие существования экстремума функции, неизвестные коэффициенты a и b находят из условия:

Дифференцируя функцию z по неизвестным параметрам и приравнивая 0 производные, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение которой дает значения параметров a и b.

Система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными может быть решена любым известным способом. В программе Excel удобно использовать, например, матричный метод решения СЛАУ. Обратная матрица А^-1 находится с помощью встроенной функции МОБР(массив А), для умножения матриц существует функция МУМНОЖ(массив А^-1, массив В).

Подставляя полученные коэффициенты в выбранное уравнение – линейное, находим теоретические (выровненные) значения y. Полученная зависимость может быть использована в частности для составления прогноза на следующий временной интервал.

Задание 1.

По имеющимся данным о продажах продукции предприятия за ряд отчетных периодов (кварталов) построить линию тренда, рассчитав параметры уравнения регрессии двумя способами: 1) по статистическим формулам, 2) методом наименьших квадратов.

Сделать прогноз объема продаж на 10 –й период.

Данные в таблице 3.

Квартал	Объем продаж(тыс.руб.)
1	145521
2	154736
3	168956
4	218976
5	209840
6	226788
7	246520
8	242789
9	257980

Таблица 3.

Задачу решить с использованием программного пакета Excel, следуя алгоритму:

1. В столбцы A и B ввести заданные числовые значения. В первую строку ввести заголовки X, Y. Построить график по значениям Y, чтобы принять возможный вид зависимости.

2. Найти значения коэффициентов уравнения регрессии, пользуясь формулами пп. 1)-5). Результаты представить в виде таблицы (см. табл.2).

3. Для решения методом наименьших квадратов построить таблицу, содержащую расчет величин, входящих в систему (1).

4. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

5. Найти значения Yтеорет., используя полученные коэффициенты a и b.

6. Построить графики по значениям Y и Yтеорет. на одних координатных осях.

Задание 2.

1. По данным варианта (номер по списку) найти неизвестные коэффициенты линейного уравнения регрессии.

2. Построить графики по данным значениям Y и вычисленным значениям Yтеорет.

3. Выполнить проверку значимости коэффициентов уравнения регрессии и сделать выводы.

1			2			3			4			5			6
	X	Y		X	Y		X	Y		X	Y		X	Y		X	Y
	1	2		2	4		10	0		1	10		5,5	22		1	7
	2	2,3		2,7	3		10,8	1		2	10,5		5,7	24		1,3	10
	3	2,5		3,4	3,5		11,6	4		3	10,8		5,9	23		1,6	12
	4	1,8		4,1	5,4		12,4	6		4	10		6,1	31		1,9	15
	5	2		4,8	6,8		13,2	7		5	10,44		6,3	34		2,2	11,5
	6	1,9		5,5	5,5		14	5		6	10,2		6,5	30		2,5	14
	7	2,7		6,2	3,6		14,8	8		7	12		6,7	33		2,8	12,5
	8	2,7		6,9	5,2		15,6	9		8	11,3		6,9	26		3,1	13,7
	9	2,9		7,6	8,5		16,4	11		9	11,80		7,1	29		3,4	15,8
	10	3,3		8,3	4,8		17,2	15		10	12,8		7,3	30		3,7	12,6
	11	3,6		9	6,8		18	17		11	10,5		7,5	37		4	13,7
	12	3,2		9,7	7		18,8	8		12	11,8		7,7	25		4,3	12
	13	3,1		10,4	3,6		19,6	14		13	11,75		7,9	32		4,6	10,9
	14	3,5		11,1	7,2		20,4	16		14	12,7		8,1	28		4,9	14,4
	15	2,9		11,8	6,6		21,2	14		15	12,3		8,3	44		5,2	13,8
	16	2,7		12,5	7,3		22	15		16	11,9		8,5	14		5,5	15,8
	17	3,4		13,2	8,1		22,8	18		17	12,5		8,7	36		5,8	17,3
	18	2,8		13,9	5,5		23,6	13		18	10,9		8,9	38		6,1	14,9
	19	3,6		14,6	10,7		24,4	12		19	11,88		9,1	41		6,4	18,5
	20	3,1		15,3	8,7		25,2	15		20	12,87		9,3	46		6,7	20